К трехфазной сети с симметричной системой линейных и фазных напряжений подключены приемники энергии, соединенные треугольником и имеющие сопротивления Zab≠Zbc≠Zca. U=400 В, Zab=j 20 Ом, Zbc=20 Ом, Zca=j 20 Ом. Определить фазные и линейные токи, мощности

Для решения задачи, давайте последовательно пройдем через все этапы.

Шаг 1: Определение фазных напряжений

В трехфазной системе с линейным напряжением $U_{ab} = U$, где $U = 400 \, В$, фазные напряжения можно определить следующим образом:

$
Ua = \frac{U{ab}}{2} \cdot (1 + j\sqrt{3}) = \frac{400}{2} \cdot (1 + j\sqrt{3}) = 200(1 + j\sqrt{3}) \approx 200 + j346.41 \, В
$

$
Ub = \frac{U{ab}}{2} \cdot (1 - j\sqrt{3}) = 200(1 - j\sqrt{3}) \approx 200 - j346.41 \, В
$

$
Uc = U{ab} = 400 \, В
$

Шаг 2: Определение токов в каждом приемнике

Для каждого приемника, подключенного по схеме «треугольник», токи можно найти по формуле:

$
I{ab} = \frac{U{ab}}{Z...{bc} = \frac{U{bc}}, \quad I{ca}}{Z_{ca}} $

Где $Z{bc} = 20 \, \Omega$, $Z_{ca} = j20 \, \Omega$.

1. :

   I{ab}}{Z_{ab}} = \frac{400}{j20} = -j20 \, A

2. :

   I{bc}}{Z_{bc}} = \frac{400}{20} = 20 \, A

3. :

   I{ca}}{Z_{ca}} = \frac{400}{j20} = -j20 \, A

Теперь найдем активные, реактивные и полные мощности для каждого приемника.

1. :

   $$P{ab}^2 \cdot Re(Z_{ab}) = (-j20)^2 \cdot 0 = 0 \, Вт$$
   $$Q{ab}^2 \cdot Im(Z_{ab}) = (-j20)^2 \cdot 20 = 4000 \, ВАр$$
   $$S{ab} + jQ_{ab} = 0 + j4000 = j4000 \, ВА$$

2. :

   $$P{bc}^2 \cdot Re(Z_{bc}) = 20^2 \cdot 20 = 8000 \, Вт$$
   $$Q{bc}^2 \cdot Im(Z_{bc}) = 20^2 \cdot 0 = 0 \, ВАр$$
   $$S{bc} + jQ_{bc} = 8000 + j0 = 8000 \, ВА$$

3. :

   $$P{ca}^2 \cdot Re(Z_{ca}) = (-j20)^2 \cdot 0 = 0 \, Вт$$
   $$Q{ca}^2 \cdot Im(Z_{ca}) = (-j20)^2 \cdot 20 = 4000 \, ВАр$$
   $$S{ca} + jQ_{ca} = 0 + j4000 = j4000 \, ВА$$

Теперь найдем общие мощности для всей цепи:

$$P{ab} + P{ca} = 0 + 8000 + 0 = 8000 \, Вт$$

$$Q{ab} + Q{ca} = 4000 + 0 + 4000 = 8000 \, ВАр$$

$$S{total} + jQ_{total} = 8000 + j8000 \, ВА$$

Для построения векторных диаграмм токов и напряжений на комплексной плоскости, необходимо отложить векторы токов и напряжений, используя полученные значения.

1. :

   • $U_{ab}$ на оси реальных чисел (400 В)
   • $U_{bc}$ на оси мнимых чисел (200 В, -346.41 В)
   • $U_{ca}$ на оси реальных чисел (200 В, +346.41 В)

2. :

   • $I_{ab}$ на оси мнимых чисел (-20 A)
   • $I_{bc}$ на оси реальных чисел (20 A)
   • $I_{ca}$ на оси мнимых чисел (-20 A)

Таким образом, мы определили фазные и линейные токи, а также мощности для каждого приемника и всей цепи. Векторные диаграммы можно построить, отложив полученные значения на комплексной плоскости.