Пусть и компактные подмножества топологического (можно считать, метрического) пространства . Всегда ли верно, что подмножество компактно? Тот же вопрос для подмножеств и .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Теория государства и права (ТГП)
Автор: Кэмп

#Философия права
#Логика

Пусть и компактные подмножества топологического (можно считать, метрического) пространства . Всегда ли верно, что подмножество компактно? Тот же вопрос для подмножеств и .

Условие:

Пусть $A$ и $B$ компактные подмножества топологического (можно считать, метрического) пространства $X$ . Всегда ли верно, что подмножество $A \cup B$ компактно? Тот же вопрос для подмножеств $A \cap B$ и $A \backslash B$ .

Решение:

Компактное множество в метрическом пространстве — это множество, в котором любая открытая покрывающая имеет конечное подмножество, которое также покрывает это множество.

Компактность $A \cup B$ : Если $A$ и $B$ — компактные подмножества, то для любого открытого покрытия $\mathcal{U}$ множества $A \cup B$ мы можем рассмотреть его ограничения на $A$ и $B$ . Поскольку $A$ и $B$ компактны, для каждого из них существует конечное подмножество $\mathcal{U}_A$ и $\mathcal{U}_B$ из $\mathcal{U}$ , которое покрывает соответственно $A$ и $B$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений о компактности объединения, пересечения и разности двух компактных подмножеств A и B топологического пространства X является верным?

Объединение A ∪ B всегда компактно, а пересечение A ∩ B и разность A \ B не всегда компактны.

Объединение A ∪ B и пересечение A ∩ B всегда компактны, а разность A \ B не всегда компактна.

Объединение A ∪ B, пересечение A ∩ B и разность A \ B всегда компактны.