Две точки бросаются наугад в концентрические квадраты. Первая точка бросается в квадрат со стороной 5, а вторая точка - в квадрат, находящийся внутри первого квадрата, сторона меньшего квадрата равна 3,5. Найдите вероятность того, что расстояние между

6 ноября 2025
Теория вероятностей

Условие:

Две точки бросаются наугад в концентрические квадраты (центры которых, можно считать, расположены в начале координат, а стороны параллельны). Первая точка бросается в квадрат со стороной 5, а вторая точка - в квадрат, находящийся внутри первого квадрата, сторона меньшего квадрата равна 3,5. Найдите вероятность того, что расстояние между двумя брошенными точками окажется меньше 0,66. Ответ дайте с точностью до тысячных. Указание. сделать чертёж с изображением множества точек, удалённых от меньшего
квадрата на указанное расстояние.

Решение:

Рассмотрим следующие обозначения. Пусть первая точка P равномерно выбирается в квадрате S₁ со стороной 5 (площадь 25), а вторая точка Q – в квадрате S₂ со стороной 3,5 (площадь 12,25), центры обоих квадратов находятся в начале координат, стороны параллельны осям координат. Нужно найти вероятность того, что расстояние между точками P и Q меньше 0,66. Обозначим это условие: расстояние между P и Q 0,66. Основная идея состоит в том, чтобы для каждой точки Q из S₂ найти множество точек P из S₁, удовлетворяющих условию: P лежит внутри круга радиуса 0,66 с центром в Q. Так как точки независимы, ве...