Является ли линейным пространством над полем действительных чисел множество всех векторов, представимых закрепленными векторами на координатной плоскости с началом в начале координат и концом в верхней полуплоскости y > 0 ? Операции сложения векторов и

Чтобы определить, является ли множество всех векторов, представимых закрепленными векторами на координатной плоскости с началом в начале координат и концом в верхней полуплоскости y 0, ...

Рассмотрим множество векторов V, которые имеют начало в начале координат и конец в верхней полуплоскости y 0. Это означает, что все векторы имеют вид (x, y), где x ∈ R и y 0.

Линейное пространство должно удовлетворять следующим условиям:

1. : Для любых векторов = (u2) и = (v2) из V, вектор + также должен принадлежать V.

Рассмотрим = (u2) и = (v2), где u2 0. Тогда:

• = (u1, u2) Здесь u2 0, следовательно, + ∈ V. Условие замкнутости относительно сложения выполняется.

2. : Для любого вектора = (u2) из V и любого скаляра c ∈ R, вектор c также должен принадлежать V.

Рассмотрим c = (c u2). Если c 0, то c u2 0, и вектор не принадлежит V. Таким образом, условие замкнутости относительно умножения на скаляр не выполняется.

Поскольку не выполняется условие замкнутости относительно умножения на скаляр (в частности, для отрицательных скаляров), множество всех векторов, представимых закрепленными векторами на координатной плоскости с началом в начале координат и концом в верхней полуплоскости y 0, над полем действительных чисел.

: Нет, это множество не является линейным пространством.