Разбор задачи

Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

Условие:

F\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+30 x_{2}^{2}+120 x_{2} x_{3}+18 x_{1} x_{2}+153 x_{3}^{2}+30 x_{1} x_{3}

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа необходимо последовательно выделять полные квадраты.

F(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 30x_2^2 + 153x_3^2 + 18x_1x_2 + 30x_1x_3 + 120x_2x_3

Шаг 1: Группируем слагаемые, содержащие $x_1$ Вынесем коэффициент при $x_1^2$ за скобки для слагаемых, содержащих $x_1$ :

F = 3(x_1^2 + 6x_1x_2 + 10x_1x_3) + 30x_2^2 + 153x_3^2 + 120x_2x_3

Теперь дополним выражение в скобках до полного квадрата вида $(x_1 + a)^2 = x_1^2 + 2x_1a + a^2$ . В нашем случае $2a = 6x_2 + 10x_3$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих шагов является ключевым при приведении квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа?

Вычисление собственных значений матрицы квадратичной формы.

Последовательное выделение полных квадратов из слагаемых квадратичной формы.

Приведение матрицы квадратичной формы к ступенчатому виду методом Гаусса.