Найти производную от функции, заданной параметрически.

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти производную от функции, заданной параметрически.

Условие:

Найти производную $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ от функции, заданной параметрически. $\left{

\begin{array}{l}x=2(t-\sin t) \ y=4(2+\cos t)\end{array}

Решение:

Для нахождения второй производной $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $ от функции, заданной параметрически, нам нужно сначала найти первую производную $ \frac{dy}{dx} $, а затем продифференцировать её еще раз.

Шаг 1: Найдем первую производную $ \frac{dy}{dx} $.

По параметрическим уравнениям у нас есть:

\nx = 2(t - \sin t)

\ny = 4(2 + \cos t)

Сначала найдем производные $ \frac{dx}{dt} $ и $ \frac{dy}{dt} $.

Для $ x $:

\frac{dx}{dt} = 2\left(1 - \cos t\right)

Для $ y $:

\frac{dy}{dt} = 4(-\sin t)

Теперь можем найти первую производную $ \frac{dy}{dx} $:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих выражений правильно описывает формулу для нахождения второй производной параметрически заданной функции $y(x)$, если известны $x(t)$ и $y(t)$?

$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dx}{dt} $

$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{1}{dx/dt} $

$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d^{2}y/dt^{2}}{d^{2}x/dt^{2}} $