Пусть непрерывна на и при некоторых на выполнено тождество . Чему равен интеграл

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Пусть непрерывна на и при некоторых на выполнено тождество . Чему равен интеграл

Условие:

Пусть $f$ непрерывна на $[-1,1]$ и при некоторых $p, q, p+q \neq 0$ на $[-1,1]$ выполнено тождество $p f(x)+q f(-x)=1$ . Чему равен интеграл $\int_{-1}^{1} f(x) d x ?$

Решение:

Мы имеем функцию f – непрерывную на отрезке [-1,1] – такую, что для всех x ∈ [-1,1] выполнено равенство

p·f(x) + q·f(–x) = 1, (1)

где p, q и (p+q) ≠
0.

Наша цель – вычислить интеграл

I = ∫₋₁¹ f(x) dx.

Шаг 1. Получение второго равенства

Подставим вместо x число (–x) в равенство (1):

p·f(–x) + q·f( x) = 1, (2)

что можно переписать в виде

q·f(x) + p·f(–x) =
1.

Шаг 2. Сложение равенств

Запишем систему (1)...