Вычислить момент инерции относительно начала координат участка однородной линии

Добавлена: 08.06.2026
Обновлена: 08.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Вычислить момент инерции относительно начала координат участка однородной линии $ L:\left{

\begin{array}{l}\nx=2(\cos t+t \sin t) \\ y=2(\sin t-t \cos t) \end{array}

Решение:

1. Дано

Уравнение линии $L$ в параметрическом виде:

x(t) = 2(\cos t + t \sin t)

y(t) = 2(\sin t - t \cos t)

Параметр

t

изменяется в пределах

t \in [0; 2\pi]

2. Найти

Момент инерции $I_O$ относительно начала координат $(0,0)$ , который вычисляется по формуле:

\nI_O = \int_L (x^2 + y^2) \, ds

где

ds = \sqrt{(x')^2 + (y')^2} \, dt

— дифференциал дуги.

3. Решение

Шаг 1: Найдем производные $x'(t)$ и $y'(t)$

\nx'(t) = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении момента инерции плоской линии относительно начала координат по формуле $I_O = \int_L (x^2 + y^2) \, ds$, какой из следующих шагов является ключевым для упрощения подынтегрального выражения $x^2 + y^2$ для параметрически заданной кривой $x(t), y(t)$?

Вычисление производных $x'(t)$ и $y'(t)$ для определения $ds$ .