Условие задачи
Задача № 62 из кн. Я. Перельмана «Живая математика. Математические рассказы и головоломки». – М., Государственное издательство физико-математической литературы, 1958 г. – Гл. 3 «Рассказы о числах великанах», С. 93–99.
Награда
Вот что, по преданию, произошло много веков назад в Древнем Риме[1].
Полководец Теренций, по приказу императора, совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.
Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате.
Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:
– Много побед одержал я, чтобы возвысить твоё могущество, государь, и окружить имя твоё славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принёс бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.
– Чего желал бы ты от меня, Теренций? – спросил император.
– Выслушай со снисхождением, государь! За долгие годы воен-ной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь… – Продолжай, храбрый Теренций.
– Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, – про-должал ободрённый полководец, – то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно в достатке годы подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.
Император – гласит предание – не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на других. Просьба полководца заставила его задуматься.
– Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточ-ной? – спросил он.
– Миллион динариев, государь.
Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову.
Наконец император заговорил:
– Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь моё решение.
Теренций поклонился и вышел.
На следующий день в назначенный час полководец явился во дворец императора.
– Привет тебе, храбрый Теренций! – сказал император.
Теренций смиренно наклонил голову.
– Я пришёл, государь, чтобы выслушать твоё решение. Ты мило-стиво обещал вознаградить меня.
Император ответил:
– Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов[2]. Теперь внимай моим словам. Ты войдёшь в казначейство, возьмёшь одну монету в руки, вернёшься сюда и положишь её к моим ногам. На другой день вновь пойдёшь в казначейство, возьмёшь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесёшь монету, стоящую 4 брасса, в четвёртый – стоящую 8 брассов, в пятый – 16, и так далее, всё удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе; ты должен пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету – остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.
Жадно впивал Теренций каждое слово, сказанное императором.
Ему чудилось огромное множество монет, одна больше другой, которые вынесет он из государственного казначейства.
– Я доволен твоею милостью, государь, – ответил он с радостной улыбкой. – Поистине щедра награда твоя!
Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приёмной залы императора, и первые переходы с монетами не стоили Теренцию никаких усилий.
В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом.
Легки были также второй, третий, четвёртый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8кратного, 16-кратного и 32-кратного веса.
Седьмая монета весила в наших современных мерах 320 граммов и имела в поперечнике 8½ см (точнее, 84 мм[3]).
На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствовавшую 128 единичным монетам. Она весила 640 г и была шириною около 10½ см.
На девятый день Теренций принёс в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 см в ширину и весила более 1¼ кг.
На двенадцатый день монета достигла почти 27 см в поперечнике и весила 10¼ кг.
Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монеток.
Тринадцатый день доставил храброму Теренцию монету, равную 4096 единичным монетам. Она имела около 34 см в ширину, а вес её равнялся 20½ кг.
На четырнадцатый день Теренций вынес из казначейства тяжёлую монету в 41 кг весом и около 42 см шириною.
– Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? – спросил его импера-тор, сдерживая улыбку.
– Нет, государь мой,– хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.
Наступил пятнадцатый день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брёл он к императору, неся огромную монету, составленную из 16 384 единичных монет. Она достигала 53 см в ширину и весила 80 кг – вес рослого воина.
На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32 768 единичным монетам и весившая 164 кг; поперечник ее достигал 67 см.
Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался…
Когда Теренций явился в приёмную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Теренций не мог уже нести свою ношу в руках, а катил её впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 см и весила 328 кг. Она соответствовала весу 65 536 единичных монет.
Восемнадцатый день был последним днём обогащения Теренция. В этот день закончились его посещения казначейства и странствования с ношей в приёмную залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьём как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил её в залу. с грохотом упала исполинская монета к ногам императора.
Теренций был совершенно измучен.
– Не могу больше… Довольно, – прошептал он.
Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приёмную залу…».
Какое вознаграждение получил полководец от жадного императора? Какую часть он получил от той суммы, которую просил у императора?
[1] Рассказ в вольной передаче заимствован из старинной латинской рукописи, принадлежащей одному из частных книгохранилищ Англии.
[2] Мелкая монета, пятая часть динария.
[3] Если монета в 64 раза больше обычной, то она шире и толще обычной всего в 4 раза, потому что 4×4×4=64. Это надо иметь ввиду и в дальнейшем при расчете размеров монет, о которых говорится в рассказе.
Ответ
Казначей исполнил поручение и сказал:
Государь, благодаря твоей щедрости победоносный воитель Теренций получил в награду 262 143 брасса.
Итак, скупой император дал полководцу около 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил Те...
