Главная
Библиотека
Физика
Саруман оценивает, что центр масс дерева находится на расстоянии h от места среза. Сопротивление воздуха пропорционально к...

Саруман оценивает, что центр масс дерева находится на расстоянии h от места среза. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату угловой скорости с постоянным эмпирическим коэффициентом α. Масса дерева равна m, а момент инерции – Θ. Вычислите угловую

«Саруман оценивает, что центр масс дерева находится на расстоянии h от места среза. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату угловой скорости с постоянным эмпирическим коэффициентом α. Масса дерева равна m, а момент инерции – Θ. Вычислите угловую»

24 октября 2025
Физика

Условие:

Саруман Многоцветный принял решение повалить все деревья в
Изенгарде и окрестностях, чтобы собрать и снабдить войско дунландцев, орков
и полуорков. Для безопасности своих работников он решил рассчитать угловую скорость падающего дерева в момент приземления. В своих изысканиях волшебник оценил, что центр масс дерева находится на расстоянии ℎ от места среза, принял сопротивление воздуха равным
пропорциональным квадрату угловой скорости с постоянным эмпирическим коэффициентом 𝛼, а также вычислил массу 𝑚 и момент инерции дерева Θ. К сожалению для себя, Саруман обнаружил, что не умеет составлять и решать уравнения динамики. Помогите ему вычислить угловую скорость упавшего дерева.

Решение:

Ниже приведём пошаговое решение задачи. Мы рассмотрим падающее дерево как жёсткое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси в точке среза. Центр масс дерева находится на расстоянии h от оси, на него действует вес m·g, который создаёт момент силы (торк). Кроме того, учитывается момент сопротивления воздуха, пропорциональный квадрату угловой скорости – он имеет вид M₍воз₎ = α ω² (при α 0, его знак будем определять правильно при записи уравнения). Наша цель – найти угловую скорость ω при достижении деревом горизонтального положения (то есть когда угол поворота равен π/2). Для начала запишем урав...