Сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью заряда , где , ф — углы сферической системы координат. В рамках мультипольного разложения определить мультипольные моменты шара и потенциал вдали от сферы. Использовать следующий выбор фаз для

Задачу можно свести к тому, чтобы вычислить мультипольные моменты

  Qₗₘ = √(4π/(2l+1)) ∫d𝐫 ρ(𝐫) rˡ Yₗₘ*(θ, φ)

для заряда, распределённого по поверхности сферы радиуса R с поверхностной плотностью
  σ(θ,φ) = σ₀ sinθ sinφ.

Чтобы работать с трёхмерной плотностью, удобно записать поверхностное распределение через дельта‐функцию:
  ρ(𝐫) = σ(θ,φ) δ(r – R)/R².
Действительно, при переходе к объёму интегрирования d³r = r² dr dΩ дельта-функция δ(r – R) выбирает r = R, а фактор 1/R² компенсирует r².

Шаг 1. Выражение для Qₗₘ

Подставляем ρ(𝐫) в определение:
  Qₗₘ = √(4π/(2l+1)) ∫₀∞ dr r² δ(r – R)/R² rˡ ∫dΩ σ(θ,φ) Yₗₘ*...