База задач по теории вероятностей

По заданному совместному распределению св. X и св. Y :

1. Найти коэффициент корреляции X и Y.

2. Сформулировать заключение о корреляционной зависимости между X и Y.

3. Как установить, что X и Y не являются независимыми, не вычисляя коэффициент корреляции?

Св. X имеет функцию распределения

Найти вероятность того, что значение св. X будет отличаться от её среднего не более чем на её стандартное отклонение.

1. Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов, каждый из которых независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго–0,95, третьего–0,85. Найти вероятность 
того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

2. ДСВ X задана законом распределения

Построить многоугольник распределения, найти функцию распределения, построить график, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X.

Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна 0,7. Какова вероятность, что среди 300 деталей таких деталей будет от 200 до 250?

Молокозавод отправил в магазин 1000 пакетов молока. Вероятность повреждения пакета во время транспортировки равна 0,0005. Какова вероятность, что количество повреждённых пакетов не превысит трёх?

Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, равна 0,2.  Найти вероятность того, что из 750 покупателей только 120 потребуют обувь этого размера.

Вероятность того, что в партии встретится бракованная деталь, равна 0,2. Какова вероятность, что из 5 деталей бракованных будет менее двух.

В группе 18 лыжников, 8 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника–0,9, для велосипедиста– 0,8, для бегуна–0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. 

Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 5?

Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность порчи книги при транспортировке равна p. Найти вероятность того, что количество испорченных книг при транспортировке будет не более k.

p = 0.05, k = 6

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,125. Найти вероятность выиграть не менее чем по трети билетов из n билетов. n=35.

В первом ящике m шаров, из них m1 - белые, остальные - красные; во втором ящике n шаров, из них n1 - белые, остальные - красные. Из каждого ящика наугад взяли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад взяли один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?

m =9, m₁=5, n=12,n₁=4

На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в пропорции: n₁:n₂:n₃. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе - p₁, на втором заводе - p₂, на третьем заводе - p₃. Случайным образом взяли одно изделие и оно оказалось некачественным. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие поступило с первого или третьего завода?

n₁=5, n₂=3, n₃=4 р₁=0,9 р₂=0,8 p₃=0.7

Средства ПВО охраняют завод от воздушного налета. Противник совершил одну за другой 3 воздушные атаки. Вероятность поражения завода в одной атаке равна 0,3. Какова вероятность того, что завод 
а) будет поражен противником?
б) не будет поражен противником.

В ремонтный цех поступило 12 осей для колесных пар. Из них три дефектные. Рабочий берет наудачу 2 оси. Найти вероятность того, что взята одна стандартная и одна дефектная ось.

В итоге регистрации времени прихода 800 посетителей выставки было получено следующее эмпирическое распределение:

Требуется при уровне значимости   проверить гипотезу о том, что случайная величина время прихода посетителей выставки распределено по показательному закону.

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости проверить согласуется ли гипотеза о биномиальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки:

По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0.4, при втором 0.6. Случайные величины: х - число попаданий при первом выстреле, у - число попаданий при втором выстреле. Найти коэффициент корреляции составляющих X и у.

Какова вероятность, что при 100 бросаниях монеты герб появится от 40 до 60 раз?

Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

Вероятность того, что наудачу взятая деталь удовлетворяет стандарту, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 6 наудачу взятых деталей не более 4-х удовлетворяет стандарту.

Дважды брошена игральная кость. Случайная величина Х – разность между числом очков при первом и втором бросании. Для случайной величины Х:

а) построить ряд распределения

б) найти математическое ожидание и дисперсию

в) найти вероятность события A  1≤ Х ≤ 4

Образуют ли полную группу следующие наборы событий (дать полный ответ, доказать);

1) Испытание — бросание  двух   монет; события:

А₁  — появление двух гербов,

А₂ — появление двух цифр

2.  Испытание - два выстрела по мишени; события:

В₁  - хотя бы попадание,

В₂ -  хотя бы один промах?

В ходе эксперимента измерялись характеристики x и y. Представить результаты измерений графически. Найти выборочный коэффициент корреляции этих величин. Что можно сказать о зависимости этих двух величин?

Построить уравнение линейной регрессии y от x. Нанести на график линию регрессии.

На уровне значимости α=0,05 оценить модель и параметры уравнения регрессии.