Условие:
No5. Составить задачу, двойственную к данной
\[
\begin{array}{l}
Z(X)=x{1}-x{2}-2 x{3}+3 x{4} \rightarrow \text { min }, \\
\left\{\begin{array}{c}
3 x{1}+2 x{2}+x{3}+x{4}=7, \left\lvert\, \begin{array}{l}
y_{1} \\
4 x{1}+3 x{2}+2 x{3}+x{4}=10, \\
y_{2}
\end{array}\right. \\
\quad x_{j} \geq 0, j=\overline{1 ; 4} .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Решение:
Чтобы составить двойственную задачу к данной, сначала нужно определить, какие элементы будут в двойственной задаче. Исходная задача имеет вид: \[ \begin{array}{l} Z(X)=x{1}-x{2}-2 x{3}+3 x{4} \rightarrow \text { min }, \\ \left\{\begin{ar...
В данной задаче у нас есть 4 переменные \(x2, x4\) и 2 ограничения. В двойственной задаче мы будем иметь 2 переменные \(y2\) (по количеству ограничений в прямой задаче). Целевая функция двойственной задачи будет максимизировать правые части ограничений исходной задачи. Таким образом, целевая функция будет выглядеть следующим образом: \[ Z(Y) = 7y2 \rightarrow \text{ max } \] Теперь мы должны составить ограничения для двойственной задачи. Коэффициенты при переменных \(x2, x4\) в целевой функции исходной задачи станут правыми частями ограничений двойственной задачи. Мы получаем: 1. Для \(x1 + 4y_2 \leq 1\) 2. Для \(x1 + 3y_2 \leq -1\) 3. Для \(x1 + 2y_2 \leq -2\) 4. Для \(x1 + y_2 \leq 3\) Так как в исходной задаче переменные \(x1\) и \(y_2\) также должны быть неотрицательными: \[ y2 \geq 0 \] Таким образом, двойственная задача будет выглядеть следующим образом: \[ \begin{array}{l} Z(Y) = 7y2 \rightarrow \text{ max }, \\ \left\{\begin{array}{l} 3y2 \leq 1, \\ 2y2 \leq -1, \\ y2 \leq -2, \\ y2 \leq 3, \\ y_1 \geq 0, \\ y_2 \geq 0. \end{array}\right. \end{array} \] Это и есть двойственная задача к данной.