Условие:
3.6 В первой экспериментальной установке небольшой тяжелый шарик висит на нерастяжимой нити длиной 180 cm . Во второй экспериментальной установке этот же шарик висит на легком несжимаемом стержне длиной 180 см. Шарикам сообщают такие минимальные скорости в горизонтальном направлении, что они совершают полный оборот в вертикальной плоскости. Вычислить разность этих скоростей.
Решение:
Для решения задачи сначала определим минимальные скорости, необходимые для того, чтобы шарик со...
В первом случае шарик висит на нерастяжимой нити. Минимальная скорость \( v_1 \) в точке верхней части траектории (высшей точке) должна быть такой, чтобы центростремительное ускорение обеспечивалось силой тяжести. В этой точке: \[ \frac{mv_1^2}{r} = mg \] где: - \( m \) — масса шарика, - \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)), - \( r \) — длина нити (в данном случае \( 1.8 \, \text{м} \)). Сокращая массу \( m \) и подставляя \( r \): \[ \frac{v_1^2}{1.8} = g \] Отсюда: \[ v_1^2 = 1.8g \] Следовательно: \[ v_1 = \sqrt{1.8g} \] Во втором случае шарик висит на легком несжимаемом стержне. Здесь также необходимо, чтобы в верхней точке траектории центростремительное ускорение обеспечивалось силой тяжести. Однако в этом случае, когда шарик находится в верхней точке, стержень не может передавать силу, поэтому шарик должен иметь минимальную скорость \( v_2 \) в верхней точке, чтобы не упасть: \[ \frac{mv_2^2}{r} = mg \] Аналогично, сокращая массу \( m \): \[ \frac{v_2^2}{1.8} = g \] Отсюда: \[ v_2^2 = 1.8g \] Следовательно: \[ v_2 = \sqrt{1.8g} \] Теперь мы видим, что в обоих случаях минимальные скорости \( v2 \) равны: \[ v_1 = \sqrt{1.8g} \] \[ v_2 = \sqrt{1.8g} \] Таким образом, разность скоростей: \[ \Delta v = v2 = \sqrt{1.8g} - \sqrt{1.8g} = 0 \] Разность минимальных скоростей в обоих случаях равна 0. \[ \Delta v = 0 \, \text{м/с} \]