Исследуем поведение свободной дираковской частицы с гамильтонианом : найдите оператор скорости (все операторы здесь и ниже подразумеваются в гейзенберговском представлении) . Каковы его собственные значения? Каким может быть его среднее значение по

Исследуем поведение свободной дираковской частицы с гамильтонианом $H = c\alpha p + \beta mc^2$: найдите оператор скорости (все операторы здесь и ниже подразумеваются в гейзенберговском представлении) $v_i = \frac{dx_i}{dt} = \frac{i}{\hbar}[H, x_i]$. Каковы его собственные значения? Каким может быть его среднее значение по какому-то состоянию? для состояния с нулевым импульсом p = 0, используя формулу для производной оператора по времени, найдите ускорение частицы $dv_i/dt$, а затем следующую производную $d^2v_i/dt^2$ и выразите её через скорость. Убедитесь, что вторая производная скорости представлена в виде $d^2v_i/dt^2 = -\#v_i$, где # — коэффициент; решите получившееся линейное дифференциальное уравнение эволюции для $v_i(t)$, выразив ответ через начальные значения $v_i(0)$ и $\frac{d}{dt} v_i(0)$; как связаны эти начальные значения с операторами $\alpha_i$ и $\beta$? Из полученного результата $v_i(t)$ найдите $x_i(t)$. Покажите, что отклонение $x_i(t)$ от классической траектории по порядку величины определяется комптоновской длиной волны $\hbar/mc$.