Условие:
1. Докажите, что угол \( A \) треугольника \( A B C \) является острым в том и только том случае, если длина медианы \( A M \) больше, чем \( \frac{B C}{2} \).
Решение:
Пусть в треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, то есть AM – медиана, проведённая из вершины A. Напомним, что длина медианы определяется формулой: AM² = (1/2)·(AB² + AC²) – (1/4)·BC². Наша цель – показать, что угол A острый ⇔ AM (BC)/2. 1. Предположим, что AM (BC)/2. Тогда, возводя неравенство в квадрат (учитывая, что все длины положительные), получаем AM² (BC)²/4. Подставим формулу медианы: (1/2)(AB² + AC...