База задач по геометрии

Найти объём многогранника, вершинами которого являются точки A,A₁, B₁, C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания  которой равна 6 см², а боковое ребро равно 4 см.

Даны вершины пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄. Найдите:

1) длину ребра А₁А₂

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃

3) площадь грани А₁А₂А₃

4) объем пирамиды

5) уравнение прямой А₁А₂

6) уравнение плоскости А₁А₂А₃

А₁(2,-2,4), А₂(5,1,-1), А₃(6,-1,3), А₄(3,2,-2).

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его медианы, проведенной к стороне АС.

.

Радиус основания цилиндра равен 2,5см, образующая - 5см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра:

а) 25см²;       б) 12,5см²;       в) 10см²;       г) 25πсм².

Сфера задана уравнением  

а) Определите координаты центра сферы и ее радиус.

б) Определите, принадлежат ли точки    данной сфере.

4.1. В каком случае отрезок проецируется в натуральную величину?

4.2. В  каком случае отрезок проецируется в точку?

4.3. В каком случае проекция отрезка меньше натуральной величины?

4.3. В каком случае проекция отрезка больше натуральной величины?

4.4. В каком случае проекцией отрезка является отрезок?

4.5. В каком случае проекция отрезка параллельна самому отрезку?

4.6. В каком случае отрезок проецируется не в натуральную величину?

4.7. В каком случае отрезок проецируется не в точку?

4.8. Если координата z всех точек отрезка одинакова, то отрезок параллелен какой оси проекций?

4.9. Если координата х всех точек отрезка одинакова, то отрезок параллелен какой оси проекций?

4.10. Если координата у всех точек отрезка одинакова, то отрезок параллелен какой оси проекций?

4.11. Если координаты  z и х всех точек отрезка одинаковы, то отрезок перпендикулярен какой плоскости проекций?

4.12. Если координаты  z и у всех точек отрезка одинаковы, то отрезок перпендикулярен какой плоскости проекций?

4.13. Если координаты  х и у всех точек отрезка одинаковы, то отрезок перпендикулярен какой плоскости проекций?

4.14. Если координаты  х и у всех точек отрезка одинаковы, то отрезок параллелен каким плоскостям проекций?

4.15. Если координаты  х и z всех точек отрезка одинаковы, то отрезок параллелен каким плоскостям проекций?

4.16. Если координаты  z и у всех точек отрезка одинаковы, то отрезок параллелен каким плоскостям плоскости проекций?

4.17. На каком эпюре изображена прямая, расположенная в профильной плоскости проекций? 

4.18. На каком эпюре изображена прямая, параллельная  профильной плоскости проекций?

4.19. На каком эпюре изображена прямая, расположенная в фронтальной плоскости проекций?

4.20. На каком эпюре изображена прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций?

4.21. На каком эпюре изображена прямая, расположенная в горизонтальной плоскости проекций?

4.22. На каком эпюре изображена прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций?

4.23. На каком эпюре изображена прямая общего положения?

4.24. На каком эпюре изображена прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций?

4.25. На каком эпюре изображена прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций?

4.26. На каком эпюре изображена прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций?

4.27. На каком эпюре изображена прямая общего положения, пересекающая ось проекций Ox?

4.28. На каком эпюре изображена прямая общего положения, пересекающая ось проекций Oy?

4.29. На каком эпюре изображена прямая общего положения, пересекающая ось проекций Oz?

4.30. На каком эпюре изображена фронтально проецирующая прямая?

4.31.  На каком эпюре изображена горизонтально проецирующая прямая?

4.32. На каком эпюре изображена профильно проецирующая прямая?

1. Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 5 см, тогда площадь боковой поверхности равна:

4π 
10 π 
20π 
40π

2. В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16p кв.дм. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

80π 
96 π
64 π 
32π

3.Радиус основания цилиндра в два раза меньше образующей, равной 4, тогда площадь боковой поверхности равна:

4π 
32π 
16π 
8π

4. Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его большей стороны, равна:

56 π 
72π 
88π 
48 π

5. Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64p кв.м, а высота – 4 м, тогда радиус равен:

26 
8 
16 
8π

6. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна:  

64 π 
100 π  
24 π 
256π

7. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту и радиус увеличить в три раза?

3 
6 
9 
27

8. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

64π 
36 π
48 π
96 π

9. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 4 раза а радиус увеличить в 2 раза? 
не изменится
 
8 
4 
2

10. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3раза а радиус увеличить в 12 раз? 
8
6
не изменится
4

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М-середина ребра АВ, S-вершина. Известно, что ВС=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM

Даны вершины пирамиды  . Найти:

а) угол между гранями ABC и ABD;

б) каноническое и параметрические уравнения прямой CD;

в) уравнение плоскости параллельной плоскости ABС, проходящей через точку D;

г) каноническое уравнение высоты пирамиды.

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2,2,2), В(4,3,3), С(4,5,4), D(5,5,6).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.

Даны вершины A(–2; –3), B(0; 2), C(3; –3) треугольника ABC. Найти

1) уравнения сторон треугольника и их длины;

2) величину внутреннего угла A в радианах с точностью до 0,01;

3) уравнение медианы, проведенной из вершины A;

4) точку пересечения медиан треугольника;

5) уравнение высоты, проведенной через вершину A;

6) длину высоты, проведенной через вершину A. Сделать чертеж.

 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Даны вершины треугольника  

Найти:

1) длину стороны

2) уравнение стороны  

3) уравнение высоты   и ее длину;

4) уравнение окружности, для которой высота   является диаметром.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами AB = 12 см и BC = 16 см (см. рис.). Высота призмы равна 15 см.

а) Найдите объём данной призмы. 

б) Постройте сечение, проходящее через ребро BB₁ и середину стороны AC. Укажите название фигуры, которая является сечением. 

в) Найдите площадь этого сечения. 

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4;-1), а также уравнения высоты 2x-3y+12=0, медианы 2x+3y=0.

Даны две смежные вершины параллелограмма В(3,-4), С(2,-3) и точка пересечения диагоналей М(-2,0). Найти другие вершины.

Высота цилиндра равна 8 см, а площадь его боковой поверхности втрое меньше площади его полной поверхности. Найти объем цилиндра.

Дано: Сила F расположена в одной из граней прямоугольного параллелепипеда.

Модуль силы F, углы α и β следует считать известными.

Чему равна проекция силы F на ось u ?

Выберите один ответ:

 a. Fu=cosα*sinβ

 b. Fu=-cosα*cosβ

 c. Fu=-sinα*cosβ

 d. Fu=sinα*sinβ

Стороны AB, AC равнобедренного треугольника ABC равны 5 см и лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Точки B, C удалены от прямой пересечения плоскостей на 4  см.

Найти площадь треугольника.

В параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57°. Определите, является ли параллелограмм прямоугольником.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы – координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы – координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности – координаты центра и радиус. Сделать чертеж.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. 

Найти:

1. уравнения  ребер АВ, АС и AD;

2. уравнение грани ABC;

3. уравнения и длину высоты DH, опущенной из вершины D на грань ABC;

4. уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани АВС.

A(3, –2, 3), B(0, 1, 2), C(5, 1, 0), D(7, 2, 8).

Даны вершины треугольника 𝐴(3,2,−3),𝐵(5,1,−1) и 𝐶(1,−2,1).

Найти внутренний угол при вершине 𝐴.