База задач по теории игр

 Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей графическим методом

Однажды на «Диком Западе» произошел следующий случай. Группа из пяти индейцев осадила лагерь, охраняемый четырьмя белыми. У лагеря два входа Е1 и Е2. Белый разведчик установил, что перед входом Е1 находится как минимум один индеец, а перед входом Е2 как минимум два индейца. Расположение других индейцев неизвестно. Командир осажденных может расположить себя и трех солдат у входов Е1 и Е2. Причем, у каждого входа должен быть как минимум один человек. Предполагается, что численно превосходящая (у каждого входа) группа берет в плен всю группу противника без собственных потерь, в то время как при равенстве сил перед каким-либо входом потерь с обеих сторон нет. В качестве платежа (выигрыша) выступает разность числа пленных.

а) Определите все чистые стратегии обоих противников. 

б) Постройте платежную матрицу, считая игроком 1 обороняющуюся сторону. 

в) Упростите матрицу насколько это возможно и найдите оптимальные стратегии сторон. 

г) С какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить по два человека у каждого входа? 

д) Кто больше в среднем захватит пленных, белые или индейцы? (1 белые, 2 индейцы) 

е) Какова абсолютная величина разности числа захваченных обеими сторонами пленных? 

ж) С какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить у первого входа одного, а у второго трех человека? 

з) С какой частотой следует индейцам использовать стратегию: расположить у первого входа трех, а у второго двух воинов? 

Перечислите типы игр.

Найдите решение матричной игры:

В ответе отдельной строкой обязательно укажите: Цена игры, v=?; стратегии A: p=(?;?;…;?); стратегии B: q=(?;?;…;?).

Найдите решение матричной игры:

В ответе отдельной строкой обязательно укажите:

Цена игры, v= ?; Стратегии A: p=( ?; ?; … ?.); Стратегии B: q=( ?; ?; … ?.)

Две фирмы i = 1,2 производят однородный продукт, выпуск q₁, q₂ соответственно. Обратная функция спроса (цена) имеет вид

где Q = q₁+q₂,

a – объём рынка.

Это значит, что цена убывает с насыщением рынка.

Полагаем, что P(Q) = 0 при Q > a,

Функции затрат пропорциональны количеству товара C_i = cq_i.
Постоянные издержки нулевые.

Фирмы одновременно должны принять решение о количестве продукции. При выборе решения первая фирма не знает, какой выпуск q₂ будет у второй фирмы, а вторая не знает выпуска q₁. Найти равновесие Нэша.

Представить динамическую игру в нормальной форме, найти все равновесия Нэша и СПРН.

 (2;3) (4;0) (1;5) (3;3) (3;3) (1;4) (5;4) (2;1)

Найти обратно-индукционные исходы в динамической игре

 (3;1) (4;2) (5;1) (3;0) (3;4) (2;1) (2;4) (5;5)

Для отопления дома в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 6 $., в мягкую зиму - 7 $., в обычную – 7,5 $, в холодную - 8$. Расход угля в отопительный сезон определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно 5 т угля, на обычную требуется 5 т, а в холодную зиму расходуется 6 т угля. Затраты домовладельца зависят от количества запасенного летом угля. При необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой, продать излишки угля или хранить их до следующей зимы возможности не будет. Вероятности зим: мягкой — 0,35; обычной – 0,5; холодной – 0,15. Дать обоснованные рекомендации по созданию запаса угля.

Минимальный гарантированно устойчивый спрос на продукцию предпри-ятия составляет 20 шт. Устойчивый сбыт на конкретный год составляет 40 шт. Возможная сверх устойчивого спроса реализация составляет 50 шт. Маловероятный, но потенциально возможный спрос составляет 60 шт. Цена реализации продукции составляет 14 у. е. Постоянные расходы равны 120 у. е., переменные расходы на ед. продукции — 1,6 у. е.. Руководство предприятия планирует три стратегии производства продукции: 

S₁ = 40 шт., S₂ = 50 шт., S₃ = 60 шт. 

Определите оптимальную стратегию для данного предприятия на основе критерия Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Выберите показатель Гурвица, близкий к оптимистическому сценарию.

1. Решить игру графически.

2. Найти верхнюю и нижнюю цену игры, проверить игру на наличие седловой точки

Решить игру симплекс-методом 

Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций

а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,4;

б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;

в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;

г) Решить игру с природой по критерию Вальда.

Стоимость дома составляет 500 тыс. руб. В случае пожара его стоимость уменьшается до 300 тыс. руб. Вероятность пожара равна 10%. Страховая компания предлагает страховку по цене 200 руб. за каждую тысячу возмещаемого ущерба. Стоит ли покупать страховку человеку, не склонному к риску? Является ли данная страховка справедливой игрой?

Выделить наилучшую стратегию игрока А по критериям Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (весовой коэффициент оптимизма = 0,3).

Раскройте тему:

Теория игр: ключевые понятия для подготовки платежных матриц и поиска решения.

Пекарня печет хлеб на продажу магазинам. Себестоимость одной булки составляет 30 пенсов, ее продают за 40 пенсов. В таблице приведены данные о спросе за последние 50 дней:

Если булка испечена, но не продана, то убытки составят 20 пенсов за штуку.

Определите, сколько булок нужно выпекать в день.

Раскрыть тему:

Теория игр и ее практическое значение для экономики

Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного ил неблагоприятного состояния рынка, а также от вероятности его наступления.

На основании данных таблицы выбрать наиболее подходящую стратегию действий компании. Обоснование представить в виде «дерева решений».

Выбрать оптимальную стратегию в условиях не определенности с помощью коэффициента вариации, максиминного критерия Вальда, критерия минимаксного риска Сэвиджа и критерия пессимизма-оптимизма Гурвица (исходные данные для анализа, представлены в таблицах 2 и 3).

Таблица 2 – Вероятности обстановки

В таблицах 2 и 3 приняты следующие сокращения: а_ij – элементы платежной матрицы (ожидаемый доход при i-й стратегии и вероятности обстановки Рj); k = 0 ± 1, в зависимости от отношения предпринимателя к риску.

Таблица 3 – Платежная матрица

Используя принцип доминирования, свести матричную игру к игре с  либо и найти ее решение графическим методом и аналитическим методом:

В матричной игре с платежной матрицей P найти: 1) верхнюю и нижнюю цены игры; 2) седловую точку (если она существует) и оптимальные чистые стратегии игроков.

Создается ателье для ремонта  телевизоров в стационарных условиях. Для простоты принимаем, что поток заявок на ремонт выражается числами 2, 4, 6 и 8 тыс. заявок в год.

Из опыта известно, что прибыль от ремонта одного телевизора составляет 9 ден. ед. в год. Потери, вызванные отказом в ремонте ввиду недостатка мощностей, – 5 ден. ед. Убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок – 6 ден. ед. за каждую заявку.

Пусть известны вероятности q_k состояний природы П_к.

В табл. эти вероятности обозначены .

Дать информацию о мощности создаваемого ателье, используя все известные вам критерии.