Условие задачи
Однажды на «Диком Западе» произошел следующий случай. Группа из пяти индейцев осадила лагерь, охраняемый четырьмя белыми. У лагеря два входа Е1 и Е2. Белый разведчик установил, что перед входом Е1 находится как минимум один индеец, а перед входом Е2 как минимум два индейца. Расположение других индейцев неизвестно. Командир осажденных может расположить себя и трех солдат у входов Е1 и Е2. Причем, у каждого входа должен быть как минимум один человек. Предполагается, что численно превосходящая (у каждого входа) группа берет в плен всю группу противника без собственных потерь, в то время как при равенстве сил перед каким-либо входом потерь с обеих сторон нет. В качестве платежа (выигрыша) выступает разность числа пленных.
а) Определите все чистые стратегии обоих противников.
б) Постройте платежную матрицу, считая игроком 1 обороняющуюся сторону.
в) Упростите матрицу насколько это возможно и найдите оптимальные стратегии сторон.
г) С какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить по два человека у каждого входа?
д) Кто больше в среднем захватит пленных, белые или индейцы? (1 белые, 2 индейцы)
е) Какова абсолютная величина разности числа захваченных обеими сторонами пленных?
ж) С какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить у первого входа одного, а у второго трех человека?
з) С какой частотой следует индейцам использовать стратегию: расположить у первого входа трех, а у второго двух воинов?
Ответ
а) Определить все чистые стратегии обоих противников.
Обозначим за стратегии А стратегии белых, а за В соответственно индейцев.
А1-у входа Е1 один человек и три человека у входа Е2
А2- у входа Е1 два человека и у входа Е2 2 человека
А3- 3 человека у входа Е1 и один человек у входа Е2.
Стратегии В:
В1- у входа Е1 один индеец, у входа Е2 4 индейца
В2 у входа Е1 два, у входа Е2 3 индейца
В3 у входа Е1 три индейца, у входа Е2 2 индейца.
б) Построим платежную матрицу, считая игроком 1 обороняющуюся сторону.
