База задач по теории вероятностей

Провести идентификацию эмпирической математической модели в случаях А) и Б).  

А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка 

Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка 

Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой  , имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией . Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии. 

Случайная величина X задана функцией плотности вероятности 

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций f(x) и  F(x). Вычислить для X ее среднее значение EX, дисперсию DX, моду Mo и медиану Me. 

Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) один потребует ремонта; б) не более одного потребует ремонта.

В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Правильную игральную кость бросают трижды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков в этом случайном эксперименте не более 7, если известно, что при последнем броске выпало четное количество очков.

Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

В кондитерской для изготовления двух видов булок Б и В используется мука, яйцо (шт), и сахар. На изготовление булки Б идёт каждого вида сырья соответственно: 1; 2; 0,3 ед. продуктов, а на изготовление В соответственно: 1; 4; 0,4 ед. продуктов. Общие запасы муки составляют 40 кг, яйца – 100 шт, сахара – 12 кг. Прибыль от реализации одной булки Б – 25 руб., а одной булки В – 40 руб. Составить оптимальный план производства булок, обеспечивающий максимальную прибыль:

а) записать математическую модель;

б) решить задачу графическим методом.

Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,8. Найти вероятности того, что оба отделения получили газеты вовремя.

Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Сборщик получил 4 коробки деталей изготовленных заводом №1 и 6 коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 высшего качества, равна 0,9, а для завода №2 такая вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что взятая наугад  деталь будет высшего качества.

Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 8.

Независимые случайные величины X, Y могут принимать только целые значения: Y – от 1 до 15 c вероятностью 1/15, а X только значения 6 и 9, при этом P (X = 6) = 9/10.

Найдите вероятность того, что сумма данных случайных величин будет меньше 15. 

В коробке находится 6 синих, 8 красных и 11 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 21 карандаш. Найти вероятность того, что среди них будет 5 синих и 6 красных карандашей.

Аудитория освещается двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 70 докладов – в первый день 20 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

На конференцию приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России, 4 из Испании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой.

Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России

Система состоит из пяти приборов, средняя наработка до первого отказа которых равна:  . Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднюю наработку до первого отказа системы. 

В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна  а, наудачу бросается точка. Вероятность попадания точки одинакова по всей площади треугольника. В треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан квадрат.

Какова вероятность того, что наудачу брошенная в треугольник точка попала в окружность, но не попала в квадрат? 

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны.

Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет три окрашенные грани.

Дана выборка значений нормально распределенного признака  Х ( в первой строке указаны значения признака x_i, во второй  - соответствующие им частоты n_i).

Найти :

1) выборочную среднюю  и исправленное среднее квадратичное отклонение  s  методом произведений;  

2) доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание α  признака  Х;  

3) доверительный интервал, покрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонение  σ  признака  Х ( надежность оценки во всех вариантах считать равной ).  

По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х требуется найти: математическое ожидание; дисперсию; среднее квадратическое отклонение. Построить график закона распределения – многоугольник распределения.

В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?

На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все 9 карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут 4 из них и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления.

Какова вероятность получить при этом: а) чётное число; б) число 1234?