База задач по теории вероятностей

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 70 докладов – в первый день 20 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

На конференцию приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России, 4 из Испании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой.

Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России

Система состоит из пяти приборов, средняя наработка до первого отказа которых равна:  . Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднюю наработку до первого отказа системы. 

В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна  а, наудачу бросается точка. Вероятность попадания точки одинакова по всей площади треугольника. В треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан квадрат.

Какова вероятность того, что наудачу брошенная в треугольник точка попала в окружность, но не попала в квадрат? 

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны.

Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет три окрашенные грани.

Дана выборка значений нормально распределенного признака  Х ( в первой строке указаны значения признака x_i, во второй  - соответствующие им частоты n_i).

Найти :

1) выборочную среднюю  и исправленное среднее квадратичное отклонение  s  методом произведений;  

2) доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание α  признака  Х;  

3) доверительный интервал, покрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонение  σ  признака  Х ( надежность оценки во всех вариантах считать равной ).  

По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х требуется найти: математическое ожидание; дисперсию; среднее квадратическое отклонение. Построить график закона распределения – многоугольник распределения.

В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?

На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все 9 карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут 4 из них и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления.

Какова вероятность получить при этом: а) чётное число; б) число 1234?

Три сотрудника могут составить один и тот же документ. Вероятность представить готовый документ без ошибок для них соответственно равны p₁=0,5, p₂=0,9, p₃=0,6.

Составить закон распределения случайной величины X – числа готовых документов без ошибок, найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вероятности четырех независимых в совокупности событий A₁, A₂, A₃, A₄ соответственно равны P( A₁ ) = 0,1; P( A₂ ) = 0,2; P( A₃ ) = 0,3 и P( A₄ ) = 0,4 . События B₁  и B₂  заданы с помощью словесного описания. Используя операции алгебры событий, выразите события B₁  и B₂  через A₁, A₂, A₃, A₄. Найдите вероятности событий B₁ и B₂.

Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых от 500 до 550 г.

Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна  , вторым –  , третьим –  .

Найти вероятность того, что: а) только два стрелка попали в цель; б) все три стрелка попали в цель.

В кармане лежало 10 монет, причем у двух из них герб с обеих сторон. Наудачу взятая монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что трижды выпадет герб.

Кубик подбрасывается 24 раза. Пусть Y – сумма выпавших очков. Оцените вероятности:

Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично» наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины X – числа работ, оцененных на «отлично» среди извлеченных. Найти числовые характеристики случайной величиныX. Построить функцию распределения

В первой урне – 7  белых и 3 черных шара; во второй урне – 5 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что: 

а) оба извлеченные шары белые? 

б) оба извлеченные шары черные? 

в) один извлеченный шар белый, а другой − черный?

В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну.

Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором черный и при третьем – синий.

Случайная величина X подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием а= 3.

Найти:

а) вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание;

б) вероятность того, что величина X примет положительное значение.

Из группы, состоящей из 15 юношей и 5 девушек, выбирают по жребию делегацию из 4 человек.

Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся: а) все юноши; б) девушек и юношей поровну?

На испытание поставлено 100 однотипных изделий.  За 4000 час. отказало 50 изделий. За интервал времени 4000 - 4100 час. отказало ещё 20 изделий.

Требуется определить f*(t), λ*(t)  при t=4000 час.     

Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8; для второго 0,7; для третьего 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени окажется три пробоины?

В среднем каждый десятый прибор ломается в течение гарантийного срока. Какова вероятность, что из 150 покупателей в гарантийную мастерскую  обратятся от 15 до 30?

Для последовательности n=400 испытаний по схеме Бернулли известна вероятность реализации события А в каждом испытании Р(А)=р=0,6. Найти вероятности следующих событий: