Для решения задачи о распределении вероятностей случайной величины \( S \) — числа пассажиров, вышедших на третьем этаже, мы будем использовать биномиальное распределение.
Ш...
1. : У нас есть 4 пассажира, то есть \( n = 4 \).
2. : Пассажир может выйти на любом из 5 этажей (2, 3, 4, 5, 6). Вероятность того, что пассажир выйдет на третьем этаже, равна \( p = \frac{1}{5} \).
3. : Вероятность того, что пассажир не выйдет на третьем этаже, равна \( q = 1 - p = \frac{4}{5} \).
Случайная величина \( S \) — это количество пассажиров, вышедших на третьем этаже. \( S \) может принимать значения от 0 до 4.
Вероятность того, что \( k \) пассажиров выйдут на третьем этаже, описывается формулой биномиального распределения:
\[
P(S = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Теперь мы можем вычислить вероятности для \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \).
1. :
\[
P(S = 0) = C(4, 0) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{256}{625}\right) = \frac{256}{625}
\]
2. :
\[
P(S = 1) = C(4, 1) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{64}{125}\right) = \frac{256}{625}
\]
3. :
\[
P(S = 2) = C(4, 2) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 6 \cdot \left(\frac{1}{25}\right) \cdot \left(\frac{16}{25}\right) = \frac{96}{625}
\]
4. :
\[
P(S = 3) = C(4, 3) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^1 = 4 \cdot \left(\frac{1}{125}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{16}{625}
\]
5. :
\[
P(S = 4) = C(4, 4) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^0 = 1 \cdot \left(\frac{1}{625}\right) \cdot 1 = \frac{1}{625}
\]
Теперь мы можем записать закон распределения вероятностей случайной величины \( S \):
\[
\begin{align*}
P(S = 0) = \frac{256}{625} \\
P(S = 1) = \frac{256}{625} \\
P(S = 2) = \frac{96}{625} \\
P(S = 3) = \frac{16}{625} \\
P(S = 4) = \frac{1}{625} \\
\end{align*}
\]
Закон распределения вероятностей случайной величины \( S \) выглядит следующим образом:
- \( P(S = 0) = \frac{256}{625} \)
- \( P(S = 1) = \frac{256}{625} \)
- \( P(S = 2) = \frac{96}{625} \)
- \( P(S = 3) = \frac{16}{625} \)
- \( P(S = 4) = \frac{1}{625} \)
