Условие задачи
Предположим, что непрерывная случайная величина Х имеет функцию плотности распределения вероятностей, отличную от нуля только на отрезке [a,b] и строго положительную на открытом интервале (a,b). Медиана случайной величины Х – значение m∈(a,b) такое что P(X<m)=P(X>m)=1/2.
1) Докажите, что для симметричных функций плотности распределения вероятностей медиана равна математическому ожиданию.
2) Приведите пример функции плотности, у которой медиана больше математического ожидания.
3) Пусть Х – случайная величина, f – строго возрастающая функция и Y=f(X). Что вы можете сказать о медианах Х и Y?
Ответ
1) Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Значит, среднее значение (математическое ожидание) равно моде, т.е.
Отсюда следует, что
