Условие:
Плотность распределения f(х) случайной величины Х на (а, b) задана в таблице, а при х e (a, b) f/х) = 0. Требуется: 1) найти параметр
A; 2) построить графики плотности и фрункции распределения; 3) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение б; 4) вычислить вероятность P того, что отклонение случайной величины от математического ожидания не более заданного e.
f(x) Ax2, (a,b) (0,1), e (1/2)
Решение:
Для решения задачи, давайте пройдемся по каждому пункту по порядку.
1) Найти параметр A
Плотность распределения \( f(x) = Ax^2 \) задана на интервале \( (0, 1) \). Чтобы найти параметр \( A \), мы используем условие, что интеграл плотности распределения по всему интервалу должен равняться 1:
\[
\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 1
\]
Подставим \( f(x) \):
\[
\int_{0}^{1} Ax^2 \, dx = 1
\]
Вычислим интеграл:
\[
A \int{0}^{1} x^2 \, dx = A \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{1} = A \cdot \frac{1}{3}
\]
Теперь у нас есть уравнение:
\[
A \cdot \frac{1}{3} = 1
\]
Отсюда:
\[
A = 3
\]
2) Построить графики плотности и функции распределения
Теперь, когда мы знаем, что \( A = 3 \), можем записать плотность распределения:
\[
f(x) = 3x^2 \quad \text{для } x \in (0, 1)
\]
Теперь найдем функцию распределения \( F(x) \):
\[
F(x) = \int{0}^{x} f(t) \,...{0}^{x} 3t^2 \, dt = 3 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{x} = x^3 \quad \text{для } x \in (0, 1) \] График плотности \( f(x) \) будет параболой, открытой вверх, а график функции распределения \( F(x) \) будет кубической функцией. \[ M(X) = \int{0}^{1} x (3x^2) \, dx = 3 \int{0}^{1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Сначала найдем \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = \int{0}^{1} x^2 (3x^2) \, dx = 3 \int{0}^{1} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] Теперь можем найти дисперсию: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} \] Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель: \[ \frac{3}{5} = \frac{48}{80}, \quad \frac{9}{16} = \frac{45}{80} \] Теперь вычтем: \[ D(X) = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80} \] \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{3}{80}} = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{5}} \approx 0.193 \] Задано \( e = \frac{1}{2} \). Мы ищем вероятность: \[ P(|X - M(X)| \leq e) = P\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right) \] Это означает: \[ P\left(\frac{1}{4} \leq X \leq 1\right) \] Теперь найдем \( F(1) - F\left(\frac{1}{4}\right) \): \[ F(1) = 1, \quad F\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} \] Таким образом: \[ P\left(\frac{1}{4} \leq X \leq 1\right) = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \] 1) \( A = 3 \) 2) Графики построены (плотность \( f(x) = 3x^2 \), функция распределения \( F(x) = x^3 \)). 3) \( M(X) = \frac{3}{4} \), \( D(X) = \frac{3}{80} \), \( \sigma \approx 0.193 \) 4) \( P\left(|X - M(X)| \leq \frac{1}{2}\right) = \frac{63}{64} \)