Выполнить задание в электронной таблице LibreOffice Cale. Случайная величина Х имеет показательный закон распределение с параметром λ. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Записать функцию плотности φ(x) функцию

Чтобы выполнить задание, следуем шаг за шагом:

Шаг 1: Определение параметров

Случайная величина \( X \) имеет показательное распределение с параметром \( \lambda = 1 \).

Шаг 2...

Для показательного распределения с параметром \( \lambda \) математическое ожидание \( E(X) \) и дисперсия \( D(X) \) вычисляются по следующим формулам: - Математическое ожидание: \[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \] - Дисперсия: \[ D(X) = \frac{1}{\lambda^2} \] Подставляем \( \lambda = 1 \): - \( E(X) = \frac{1}{1} = 1 \) - \( D(X) = \frac{1}{1^2} = 1 \) Среднее квадратическое отклонение \( \sigma \) вычисляется как корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1} = 1 \] Функция плотности \( \phi(x) \) и функция распределения \( F(x) \) для показательного распределения: - Функция плотности: \[ \phi(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0) \] Подставляем \( \lambda = 1 \): \[ \phi(x) = e^{-x} \quad (x \geq 0) \] - Функция распределения: \[ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0) \] Подставляем \( \lambda = 1 \): \[ F(x) = 1 - e^{-x} \quad (x \geq 0) \] Теперь вычислим вероятности: 1. \( P(0 \leq X \leq 1) \): \[ P(0 \leq X \leq 1) = F(1) - F(0) = (1 - e^{-1}) - (1 - e^{0}) = e^{0} - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321 \] 2. \( P(X 2) \): \[ P(X 2) = 1 - F(2) = 1 - (1 - e^{-2}) = e^{-2} \approx 0.1353 \] 3. \( P(X \leq 3) \): \[ P(X \leq 3) = F(3) = 1 - e^{-3} \approx 0.9502 \] 4. \( P(1 \leq X \leq 5) \): \[ P(1 \leq X \leq 5) = F(5) - F(1) = (1 - e^{-5}) - (1 - e^{-1}) = e^{-1} - e^{-5} \approx 0.3679 - 0.0067 \approx 0.3612 \] 5. \( P(-\infty \leq X \leq 3) \): \[ P(-\infty \leq X \leq 3) = F(3) = 1 - e^{-3} \approx 0.9502 \] Для построения графиков функции плотности и функции распределения в LibreOffice Calc: 1. Создайте два столбца: один для значений \( x \) (например, от 0 до 5 с шагом 0.1) и второй для значений \( \phi(x) \) и \( F(x) \). 2. Введите формулы для \( \phi(x) \) и \( F(x) \) в соответствующие ячейки. 3. Выделите данные и выберите Вставка - График для создания графиков. - Математическое ожидание: \( 1 \) - Дисперсия: \( 1 \) - Среднее квадратическое отклонение: \( 1 \) - Функция плотности: \( \phi(x) = e^{-x} \) - Функция распределения: \( F(x) = 1 - e^{-x} \) - Вероятности: - \( P(0 \leq X \leq 1) \approx 0.6321 \) - \( P(X 2) \approx 0.1353 \) - \( P(X \leq 3) \approx 0.9502 \) - \( P(1 \leq X \leq 5) \approx 0.3612 \) - \( P(-\infty \leq X \leq 3) \approx 0.9502 \) Теперь вы можете использовать эти данные для завершения задания в LibreOffice Calc.