Внутри круга радиуса R наудачу выбирают точку. Необходимо найти интегральную функцию распределения вероятностей случайной величины X , являющейся расстоянием точки до центра круга, и плотность вероятности.

Для решения задачи о распределении вероятностей случайной величины \( X \), которая представляет собой расстояние от случайно выбранной...

Круг радиуса \( R \) можно описать в декартовой системе координат как множество точек \( (x, y) \), удовлетворяющих неравенству: \[ x^2 + y^2 \leq R^2 \] Расстояние от точки \( (x, y) \) до центра круга (точки \( (0, 0) \)) определяется как: \[ X = \sqrt{x^2 + y^2} \] Для удобства вычислений перейдем к полярным координатам, где: \[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \] где \( r \) — расстояние от центра круга, а \( \theta \) — угол. В этом случае, неравенство для круга становится: \[ 0 \leq r \leq R, \quad 0 \leq \theta 2\pi \] Объем элемента в полярных координатах равен \( r \, dr \, d\theta \). Поскольку точка выбирается равномерно внутри круга, вероятность выбора точки в элементе \( dA = r \, dr \, d\theta \) пропорциональна этому элементу. Теперь найдем вероятность того, что расстояние \( X \) меньше или равно \( x \): \[ P(X \leq x) = \frac{\text{Площадь круга радиуса } x}{\text{Площадь круга радиуса } R} = \frac{\pi x^2}{\pi R^2} = \frac{x^2}{R^2} \] для \( 0 \leq x \leq R \). Таким образом, интегральная функция распределения вероятностей \( F_X(x) \) будет: \[ F_X(x) = \begin{cases} 0, x 0 \\ \frac{x^2}{R^2}, 0 \leq x \leq R \\ 1, x R \end{cases} \] Чтобы найти плотность вероятности \( f_X(x) \), необходимо продифференцировать интегральную функцию распределения: \[ fX(x) = \begin{cases} 0, x 0 \\ \frac{2x}{R^2}, 0 \leq x \leq R \\ 0, x R \end{cases} \] Таким образом, интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности случайной величины \( X \) (расстояние от точки до центра круга) имеют следующие формы: - Интегральная функция распределения: \[ F_X(x) = \begin{cases} 0, x 0 \\ \frac{x^2}{R^2}, 0 \leq x \leq R \\ 1, x R \end{cases} \] - Плотность вероятности: \[ f_X(x) = \begin{cases} 0, x 0 \\ \frac{2x}{R^2}, 0 \leq x \leq R \\ 0, x R \end{cases} \]