База задач по высшей математике

Решите задачу, используя диаграмму Эйлера-Венна

При изучении читательского опроса оказалось, что 60% опрошенных читает журнал «Огонек», 50% - журнал «Юность», 50% - журнал «Автора». Журналы «Огонек» и «Юность» читают 30% опрошенных, «Юность» и «Аврора» - 20%, «Огонек» и «Аврора» - 40%, все три журнала – 10%. Сколько процентов опрошенных не читают ни один журнал?

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,025; во второй – 0,03; в третий – 0,019. При попадании в один их складов взрываются все три.

Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Требуется:  

1) Проверить наличие тренда графическим методом с использованием Мастера диаграмм. Сделать вывод.  

 Построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда):

a) с использованием Анализа данных;

b) с использованием Поиска решений;

c) с использованием матричных функций; 

d) с использованием функции ЛИНЕЙН.

Дать экономическую интерпретацию параметрам модели.

2) Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

 Оценить точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 80%). Указать ширину доверительного интервала. Привести график.

Для изучения зависимости давления деталей одежды (покрой одежды с цельнокроеным рукавом) на тело человека от некоторых факторов были поставлены эксперименты по плану ПФЭ   2³. В качестве факторов, влияющих на давление  , были выбраны следующие:

(см) – припуск на свободное облегание к полуобхвату груди с распределением между участками спинки, проймы и полочки в соотношении 0,32:0,53:0,15;  

(см) – припуск к обхвату плеча,

(см) – припуск к обхвату запястья,  

Требуется построить уравнение регрессии, учитывая взаимодействие факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.

Исходная матрица планирования ПФЭ 2³

Работы выполняем в следующем порядке:

1) кодируем переменные;

2) достраиваем матрицу планирования в кодированных переменных с учетом парных взаимодействий и дополняем столбцом средних значений отклика;

3) вычисляем коэффициенты уравнения регрессии;

4) проверяем вычисленные коэффициенты на значимость, предварительно определив дисперсию воспроизводимости, и получаем уравнение регрессии в кодированных переменных;

5) проверяем полученное уравнение на адекватность;

6) проводим интерпретацию полученной модели;

7) выписываем уравнение регрессии в натуральных переменных.

Составить математическую модель и найти оптимальное решение, используя процедуру «Поиск решения» («solver») MS Excel.

Процесс изготовления двух видов изделий состоит в последовательной обработке каждого изделия на трех станках. Время использования станков ограничено 10 ч в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия указаны в таблице 1. Найти оптимальные объёмы производства.

Таблица 1 – Параметры задачи

Предприятие -участник ВЭД осуществляет поставки однородного груза из трех пунктов . Временное хранение данных грузов может быть организовано на пяти складах временного хранения , с которыми у данного предприятия имеются договорные отношения. В пунктах поставки находится готовый к отгрузке груз соответственно в количествах тонн. На склады требуется доставить соответственно  тонн груза, учитывая возможности размещения на соответствующих складах для данного участника ВЭД. Расходы на перевозку единицы груза между пунктами поставки и складами временного хранения приведены в таблице. 

Найти такой план закрепления складов за пунктами поставки однородного груза х_ij,, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

План распределения найти методом минимальной стоимости, а также c помощью MS Excel.

Исследовать ряды на сходимость

1) Найти решение транспортной задачи методом потенциалов, взяв лучший из опорных планов, построенных методами северо-западного угла, наименьшего элемента, двойного предпочтения и аппроксимации Фогеля; проверить на оптимальность, построить цикл пересчета (при необходимости);

2) Найти решение транспортной задачи методом дифференциальных рент.

Расставить пределы интегрирования в двойном интегралеи вычислить площадь области D, ограниченной линиями  

Закон распределения дискретной двухмерной случайной величины (X,Y) представлен таблицей. Определить одномерные законы распределения случайных величин X и Y. Найти условные плотности распределения вероятностей величин. Вычислить математические ожидания m_x и m_y, дисперсии σ_x и σ_y, ковариационный момент K_xy и коэффициент корреляции r_xy. 

Восстановить аналитическую в окрестности точки   функцию   по известной действительной части   и значению

а) По данному графику оригинала найти изображение.

б) Найти оригинал по заданному изображению;

Решите тригонометрические уравнения

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области.

1. Решите дифференциальное уравнение

2. Решите дифференциальное уравнение  

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения  

4. Решите дифференциальное уравнение  

5. Решите дифференциальное уравнение  

Изменить порядок интегрирования 

Скорость движения автобуса между двумя пунктами, расстояние между которыми составляет S км, равна V₁=90 км/ч. Автобус в пути делает остановки, общее время которых t_ост =0,5 ч. Средняя скорость автобуса на всем пути V₂=60 км/ч.

Найти расстояние S.

Раскройте тему: Алгоритм  применения «Метода ближайшего соседа»

Даны функция z = f (x,y), точка A ( х_0, у₀) и вектор .

Найти:

1) наибольшую скорость возрастания функции в точке А.

2) скорость изменения функции в точке А по направлению вектора .

Найдите корень уравнения

Дан график производной некоторой функции , заданной на отрезке .

Тогда справедливы следующие утверждения (укажите правильные варианты):

- функция возрастает на заданном промежутке;

- функция убывает на заданном промежутке;

- функция возрастает на промежутке (–2, 2) и убывает на промежутке (2, 4);

- на всем промежутке функция выпукла вверх

Построить область определения функции.

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁ найти положение точки на траектории, ее скорость, ускорения, радиус кривизны траектории.