База задач по высшей математике

Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов. Найти координаты вектора b в построенном базисе, если b∈<a₁;a₂;a₃;a₄>.

a₁=(2;1;-1;1), a₂=(2;2;-1;1), a₃=(-3;-1;2;-1), a₄=(-3;-1;1;-2), b=(5;6;-4;1)

При эксплуатации линии электропередачи зарегистрировано  n отказов: из них изоляторов - 8, опор - 2, проводов - 4, предохранителей - 6. На ремонт затрачивалось (мин): опор  , изоляторов  , предохранителей  , проводов  .

Найти среднее время восстановления.

Решить задачу линейного программирования графическим и симплекс-методом, составив ее математическую модель по описанию производственных процессов по исходным данным из таблицы.

Для изготовления двух видов продукции   на предприятии используются три вида сырья  . Запасы сырья каждого вида   известны и равны  , кг, соответственно. Количество единиц сырья  , используемое на изготовление единицы продукции вида  , равно  , кг. Величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции  , равна   Составить план выпуска продукции, чтобы при ее реализации предприятие получало максимальную прибыль и определить величину этой прибыли. При решении задачи учитывать, что переменные удовлетворяют условиям неотрицательности:  

Таблица – Исходные данные 

Вычислите

10,9
11
9,1
9

Упростите выражение

6^0,7
2
0,7
36

Упростите выражение 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑 - 𝐥𝐨𝐠_𝟓 𝟏𝟓 + 𝐥𝐨𝐠_𝟑 𝟓

Найдите значение 𝐬𝐢𝐧 𝜶, если

Решите уравнение 𝐜𝐨𝐬 х = -1

Найдите множество значений функции у = 𝐬𝐢𝐧 х – 1

[-1;1]
(-∞;+∞)
[-2;0]
[0;2]

Найдите производную функции f(x) = (𝟑х − 𝟒)^𝟔

-18(3х − 4)⁵
6(3х − 4)⁵
18(3х − 4)⁵
(3х − 4)⁷.

Решите равнение 𝐥𝐨𝐠_𝟒 х + 𝐥𝐨𝐠_𝟒 𝟓= 𝐥𝐨𝐠_𝟒 𝟐𝟎

15
5
4
10

Найдите точку максимума функции у = 4х – х⁴

4
2
-4
0

Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 6; 6;7

19
11
121
36

Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями у = 1 – х³, у = 0, х = 0, х = 1.

Укажите область определения функции у =𝐥𝐨𝐠_𝟎,𝟓(х^𝟐 − 𝟑х).

(-3;+∞)
(-∞;0)∪(3;+∞)
(3;+∞)
(0;3)

Найдите наибольшее целое решение неравенства

1
-1
2
0

Площади двух граней прямоугольного параллелепипеда равны 20см² и 45см², а длина их общего ребра 5см. Найдите объем параллелепипеда.

Образующая конуса равна 18дм и составляет с плоскостью основания угол 30⁰. Найдите объем конуса, считая 𝝅 = 3.

3804
2192
2187
6408.

Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей  следующий закон распределения

Для матрицы  А найти: а)  ; б)  ; в) решить систему   матричным методом  (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Исследуйте функцию и постройте её график:

Найти производные   данных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертеж тела на его проекции на плоскость XOY

Найти полный дифференциал функции двух аргументов:

В группе спортсменов 30 человек. Из них 20 занимаются плаванием, 18 – легкой атлетикой и 10 – лыжами. Плаванием и легкой атлетикой занимаются 11 человек, плаванием и лыжами – 8, легкой атлетикой и лыжами – 6 человек. Сколько спортсменов занимаются всеми тремя видами спорта?

Определить тип каждого из следующих уравнений, привести уравнения к каноническому виду, установить, какой геометрический образ определяет каждое из них, построить линию, определяемую этим уравнением.

а) x²+2xy+y²+2x+y=0

 б) 8x²-4xy+5y²+4x-10y-319=0

в) 5x²-2xy+5y²-4x+20y+20=0

 г) 11x²-20xy-4y²-20x-8y+1=0

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченной указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy.

Предполагается, что промеры телок (обхват пясти) являются нормально распределенными случайными величинами с заданными параметрами а=16,4 и  .

Требуется определить:

1) процент животных, для которых величина промера будет принадлежать заданному интервалу  ;

2) диапазон изменения промера.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

  y = cos⁵ x sin 2x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π/2

На комбинатах ЖБК имеются Хi единиц железобетонных панелей, размешенных в i-х складских помещениях. Их необходимо доставить на  j-е объекты с учетом их потребностей (Уj). Стоимость перевозки единицы продукции от i-ro поставщика  к j-му потребителю известна для всех возможных вариантов доставки и равна С_ij руб (рис.1). 

Составьте план перевозки (А_ij) железобетонных изделий так, чтобы общая стоимость этих перевозок была наименьшей и потребности всех потребителей были бы удовлетворены. Задачу решите двумя способами: методом северо-западного угла и методом наименьшей стоимости.

Рис. 1.  Графическое изображение транспортной задачи

Исходные данные по стоимости и объемам поставок 

Исходные данные по стоимости и объемам потребления

Вычислить поверхностный интеграл второго рода по поверхности  S, где S  – часть плоскости  , отсеченная координатными плоскостями, в направлении нормали, образующей острый угол с осью  .

Оцените следующую структурную модель на идентификацию:

По приведенной форме модели уравнений:

найдите структурные коэффициенты модели.

Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля, и после встречи каждый из них продолжил движение в первоначальном направлении. Первый из них, скорость которого на 15 км/ч больше скорости второго, прибыл в пункт А через 3 часа после встречи, а второй в пункт В – через 5 часов 20 минут.

Найти скорость, с которой двигался каждый автомобиль. Через какое время после начала движения состоялась их встреча?

Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l.

Исследовать функцию на экстремум.

Исследовать на экстремум функцию  

Найти частные производные    и      функции  

 Найти первые и вторые частные производные функции