Условие задачи
Снежинка Коха строится следующим образом: начинаем с равностороннего треугольника со стороной 1, на очередном шаге каждый отрезок, входящий в
кривую, делим на три равные части и заменяем средний интервал на равностронний
треугольник без этого сегмента (см рисунок).
1. Найти периметр снежинки Коха
2. Найти площадь фигуры, ограниченной снежинкой Коха
3. Аналогично снежинке Коха построим кривую, в которой треугольники на средней трети отрезков строятся не "наружу", а "внутрь". Постройте три первых приближения к такой антиснежинке Коха и найдите площадь фигуры, ею ограниченной
Ответ
1. Заметим, что на каждой итерации периметр снежинки увеличивается на треть:
То есть периметр предельной фигуры бесконечен.
2. Пусть 𝐾𝑛 𝑛-ая итерация, 𝐾0 треугольник единичной площади. Число 𝑎𝑛 звеньев ломаных, ограничивающих фигуру 𝐾𝑛, увеличивается с каждой итерацией в четыре раза:
