Условие:
5. Как определяются циклические подпространства линейного оператора? Сформулируйте их простейшие свойства. Какой вид имеет матрица линейного оператора на циклическом подпространстве? Oтвет обоснуйте.
Решение:
Ниже приведён поэтапный разбор задачи.
──────────────────────────────
- Определение циклического подпространства
Пусть T – линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над полем F, а x ∈ V – произвольный вектор. Тогда циклическим подпространством, порождённым вектором x, называют подпространство
V₍ₓ₎ = span{x, T(x), T²(x), …, Tᵏ(x), …},
то есть множество всех линейных комбинаций векторов вида Tᵏ(x). Так как V конечномерно, существует наименьшее натуральное число m, что векторы {x, T(x), …, Tᵐ(x)} линейно зависимы. Следовательно, можно считать, что
V₍ₓ₎ = span{x, T(x), ...