Условие:
68. Решите задачу Коши для линейного дифференциального уравнении второго порядка
𝑦 ″ + 14𝑦′ + 48𝑦 = 0, 𝑦(0) = − 1, 𝑦′ (0) = 2 .
Решение:
Для решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка \[ y + 14y + 48y = 0 \] с начальными условиями \[ y(0) = -1, \quad y(0) = 2, \] мы снач...
Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид: \[ r^2 + 14r + 48 = 0. \] Для решения квадратного уравнения используем формулу корней: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = 14, c = 48 \). Подставим значения: \[ r = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-14 \pm 2}{2}. \] Теперь найдем корни: 1. \( r_1 = \frac{-14 + 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6, \) 2. \( r_2 = \frac{-14 - 2}{2} = \frac{-16}{2} = -8. \) Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: \[ y(t) = C2 e^{-8t}, \] где \( C2 \) - произвольные константы. Теперь найдем производную \( y \): \[ y(t) = -6C2 e^{-8t}. \] Теперь подставим начальные условия \( y(0) = -1 \) и \( y(0) = 2 \). 1. Подставляем \( t = 0 \) в \( y(t) \): \[ y(0) = C2 e^{0} = C2 = -1. \quad (1) \] 2. Подставляем \( t = 0 \) в \( y(t) \): \[ y(0) = -6C2 e^{0} = -6C2 = 2. \quad (2) \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( C2 = -1 \) 2. \( -6C2 = 2 \) Из первого уравнения выразим \( C_2 \): \[ C1. \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ -6C1) = 2, \] раскроем скобки: \[ -6C1 = 2, \] соберем подобные: \[ 2C_1 + 8 = 2. \] Теперь решим для \( C_1 \): \[ 2C_1 = 2 - 8, \] \[ 2C_1 = -6, \] \[ C_1 = -3. \] Теперь найдем \( C_2 \): \[ C1 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2. \] Теперь мы можем записать окончательное решение задачи Коши: \[ y(t) = -3 e^{-6t} + 2 e^{-8t}. \] Таким образом, решение задачи Коши для данного линейного дифференциального уравнения второго порядка: \[ y(t) = -3 e^{-6t} + 2 e^{-8t}. \]