Условие:
Алиса и Боб хотят создать необычные пароли для своей криптосистемы. Пароль — это 9-значное десятичное число. Для начала они выбирают случайное число e1e2...e9, которое имеет 9 (не обязательно различных) десятичных цифр.
• Боб создаёт пароль d1d2...d9 такой, что каждое из чисел, образованных заменой только одной из цифр di в d1d2...d9 на соответствующую цифру ei, делится на 7.
• Алиса создаёт пароль f1f2...f9 аналогичным, но не таким же образом: каждое из девяти чисел, образованных заменой одной из цифр ei в e1e2...e9 на fi, делится на 7.
Пункт 0. Пусть e1e2...e9 = 448259545. Приведите пример какими могли бы быть пароли Алисы и Боба.
Пункт 1а. Злоумышленник Виктор перехватил пароль Боба. Сможет ли он по нему восстановить пароль Алисы? (Виктор знает, как формируются пароли, но не знает e1e2...e9).
Пункт 1б. Злоумышленник Виктор перехватил пароль Алисы. Сможет ли он по нему восстановить пароль Боба? (Виктор знает, как формируются пароли, но не знает e1e2...e9).
Пункт 2. Покажите, что для каждого i, di − fi делится на 7 для любых паролей Алисы и Боба!
Пункт 3. Пусть теперь пароль — это k-значное десятичное число, такое что k−2 простое. Покажите, что для каждого i, di − fi делится на k−2 для любых паролей Алисы и Боба!
Пункт 3а. Будет ли для каждого i, di − fi делится на k − 2 для любых паролей Алисы и Боба, если k−2 окажется составным?
Пункт 3б. Можно ли придумать ещё какие-нибудь условия на k, чтобы для каждого i, гарантировать делимость di − fi на какое-то x < k для любых паролей Алисы и Боба?
Пункт 4. Алиса и Боб узнали о существовании различных систем счисления и теперь хотят создавать пароли в t-ичной системе счисления. При каких условиях на t и k для каждого i, di − fi делится на k−2 для любых паролей Алисы и Боба?
Пункт 5. Предложите свои обобщения и направления для исследования.
