Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна, а объем был бы наибольшим. Каковы должны быть

1. Дано

1. Длина бревна (высота усеченного конуса): $L = 20$ м.
2. Диаметр большего основания: $D_1 = 2$ м, соответственно, радиус $R_1 = 1$ м.
3. Диаметр меньшего основания: $D_2 = 1$ м, соответственно, радиус $R_2 = 0.5$ м.
4. Балка имеет квадратное поперечное сечение со стороной $a$.
5. Ось балки совпадает с осью бревна.

2. Найти

Максимальный объем балки $V_{\text{балки}}$ и размеры ее сечения $a$.

3. Решение

Шаг 1: Определение сечения бревна как функции от координаты

Расположим ось бревна вдоль оси $x$ от $x=0$ до $x=L=20$. Радиус сечения бревна $r(x)$ является...