Даны координаты точек . Найти координаты векторов ; проверить, будут ли векторы компланарны. Найти угол . Найти . Найти вектор , если и . Найти ; выяснить, будут ли векторы и коллинеарны. Выяснить, будут ли векторы и перпендикулярны. Найти площадь

Условие:

Даны координаты точек $A\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right), B\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right), C\left(x_{3} ; y_{3} ; z_{3}\right)$ .

Найти координаты векторов $\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A C}, \vec{c}=\overrightarrow{C B}$ ; проверить, будут ли векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ компланарны.
Найти угол $\alpha=\angle B A C$ .
Найти $\Pi P_{\vec{a}} \vec{b}, \Pi P_{\vec{b}} \vec{a}$ .
Найти вектор $\vec{d}$ , если $\vec{d} \perp \vec{a}, \vec{d} \perp \vec{b}$ и $|\vec{d}|=1$ .
Найти $\vec{g}=\vec{a} \times \vec{c}$ ; выяснить, будут ли векторы $\vec{g}$ и $\vec{d}$ коллинеарны.
Выяснить, будут ли векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ перпендикулярны.
Найти площадь треугольника $A B C$ , используя два способа вычисления модуля векторного произведения векторов.
Найти длину и направление вектора $\vec{q}$ , совпадающего с диагональю параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$ , $\vec{b}, \vec{g}$ , как на сторонах.
Разложить вектор $\vec{q}$ по базису $\vec{m}=\vec{a}+2 \vec{b}, \vec{n}=3(\vec{a}-\vec{c})$ , $\vec{l}=\vec{g}-\vec{a}$ .
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$ , $\vec{b}, \vec{g}$ , как на сторонах.

Нахождение координат векторов: Векторы определяются как разность координат конечной и начальной точки.
- Вектор $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$
- Вектор $\vec{b} = \overrightarrow{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)$
- Вектор $\vec{c} = \overrightarrow{CB} = (x_2 - x_3, y_2 - y_3, z_2 - z_3)$
Для проверки компланарности векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ используем определитель: | x_a y_a z_a | | x_b y_b z_b | | x_c y_c z_c |

Если определитель равен нулю, то векторы компланарны.
Нахождение угла $\alpha = \angle BAC$ : Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: cos(α) = (a · b) / (|a| |b|), где a · b - скалярное произведение векторов, а |a| и |b| - их длины.
Нахождение проекций: Проекция вектора $\vec{b}$ на $\vec{a}$ : $\Pi P_...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие необходимо для того, чтобы три вектора $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ были компланарны?

Их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Их смешанное произведение должно быть равно нулю.

Они должны быть попарно ортогональны.