1. Даны точки А (3;0;-2) В (4;2;-2) С (5;-6;3) Д (2;5;-4). Найти: a) координаты векторов АВ и СД. б) 2AB-4СД. в) длину векторов АВ и СД. г) косинус угла между векторами АВ и СД.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

a) Найти координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \...

Вектор \( \vec{AB} \) можно найти по формуле: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (xA, yA, zA) \] Подставим координаты точек \( A(3, 0, -2) \) и \( B(4, 2, -2) \): \[ \vec{AB} = (4 - 3, 2 - 0, -2 - (-2)) = (1, 2, 0) \] Теперь найдем вектор \( \vec{CD} \): \[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (xC, yC, zC) \] Подставим координаты точек \( C(5, -6, 3) \) и \( D(2, 5, -4) \): \[ \vec{CD} = (2 - 5, 5 - (-6), -4 - 3) = (-3, 11, -7) \] Таким образом, координаты векторов: \[ \vec{AB} = (1, 2, 0) \] \[ \vec{CD} = (-3, 11, -7) \] Сначала умножим векторы на соответствующие коэффициенты: \[ 2 \cdot \vec{AB} = 2 \cdot (1, 2, 0) = (2, 4, 0) \] \[ 4 \cdot \vec{CD} = 4 \cdot (-3, 11, -7) = (-12, 44, -28) \] Теперь вычтем: \[ 2 \cdot \vec{AB} - 4 \cdot \vec{CD} = (2, 4, 0) - (-12, 44, -28) = (2 + 12, 4 - 44, 0 + 28) = (14, -40, 28) \] Длина вектора \( \vec{AB} \) вычисляется по формуле: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \] Длина вектора \( \vec{CD} \): \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 11^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 121 + 49} = \sqrt{179} \] Косинус угла между векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} \] Сначала найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(-3) + (2)(11) + (0)(-7) = -3 + 22 + 0 = 19 \] Теперь подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{179}} = \frac{19}{\sqrt{895}} \] a) \( \vec{AB} = (1, 2, 0) \), \( \vec{CD} = (-3, 11, -7) \) b) \( 2 \cdot \vec{AB} - 4 \cdot \vec{CD} = (14, -40, 28) \) c) Длина \( |\vec{AB}| = \sqrt{5} \), длина \( |\vec{CD}| = \sqrt{179} \) d) \( \cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{895}} \)