Даны вершины тетраэдра . Требуется найти: 1) уравнение и длину ребра ; 2) угол ; 3) уравнение грани ; 4) угол между ребром и гранью ; 5) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ; 6) площадь грани и объём тетраэдра. .

Дано:

Координаты вершин тетраэдра: $A_{1}(3; 1; -1)$ $A_{2}(1; 4; 1)$ $A_{3}(1; 1; 7)$ $A_{4}(3; 4; 8)$

Найти:

1. Уравнение и длину ребра $A_{1} A_{2}$.
2. Угол $\angle A_{2} A_{1} A_{3}$.
3. Уравнение грани $A_{1} A_{2} A_{3}$.
4. Угол между ребром $A_{1} A_{4}$ и гранью $A_{1} A_{2} A_{3}$.
5. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины $A_{4}$ на грань $A_{1} A_{2} A_{3}$.
6. Площадь грани $S_{A_{1} A_{2} A_{3}}$ и объём тетраэдра $V$.

Решение

Для удобства введем векторы, исходящие из вершины $A_1$: $\vec{a}_1 = \vec{A_1 A_2} = A_2 - A_1 = (1-3; 4-1; 1-(-1)) = (-2; 3; 2)$ $\vec{a}_2 = \vec{A_1 A_3} = A_3 - A_1 = (1-3; 1-1; 7-(-1)) = (-2; 0; 8)$...