Даны вершины треугольной пирамиды , . Найти: угол между ребрами и ; площадь грани ; объем пирамиды ; длину высоты, опущенной из вершины на грань ; уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

1. Найдем угол между ребрами $\overrightarrow{B S}$ и $\overrightarrow{B C}$.

Сначала найдем векторы $\overrightarrow{B S}$ и $\overrightarrow{B C}$.

Координаты точек:

• $S(1; 4; 5)$
• $A(2; -4; -1)$
• $B(-4; 2; -4)$
• $C(-4; -1; -5)$

Вектор $\overrightarrow{B S} = S - B = (1 - (-4), 4 - 2, 5 - (-4)) = (5, 2, 9)$.

Вектор $\overrightarrow{B C} = C - B = (-4 - (-4), -1 - 2, -5 - (-4)) = (0, -3, -1)$.

Теперь найдем угол между векторами с помощью скалярного произведения:

Скалярное произведение: $\overrightarrow{B S} \cdot \overrightarrow{B C} = 5 \cdot 0 + 2 \cdot (-3) + 9 \cdot (-1) = 0 - 6 - 9 = -15$...