Доказать совместность системы. Найти общее решение системы. Найти одно частное решение системы.

Условие:

$\left{

\begin{array}{rllll}x_{1} & +x_{2} & +x_{3} & +x_{4}=3 \\ x_{1} & -x_{2} & +x_{3} & -x_{4}=1 \\ 2 x_{1} & +x_{2} & -x_{3} & +x_{4} & =2\end{array}

Система уравнений: $

\begin{cases}\nx_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3 \quad (1) \\ x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 1 \quad (2) \\ 2x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 2 \quad (3) \end{cases}

1. **Проверка совместности системы.** Сначала запишем систему в матричной форме \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), где:

A =

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}\nx_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Теперь найдем ранг матрицы \(A\) и расширенной матрицы \([A | \mathbf{b}]\):

[A | \mathbf{b}] =

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}

$...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) была совместной?

Ранг основной матрицы системы должен быть равен числу неизвестных.

Определитель основной матрицы системы должен быть отличен от нуля.

Ранг основной матрицы системы должен быть равен рангу расширенной матрицы системы.