Найдите объём цилиндра, описанного около прямой треугольной призмы 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, если 𝑨𝑩 = 𝟐√𝟑, ∠𝑨𝑪𝑩 = 𝟔𝟎°, а угол между 𝑨𝟏𝑩 и плоскостью основания призмы равен 𝟑𝟎°.

Чтобы найти объём цилиндра, описанного около прямой треугольной призмы \( ABC A...1 C_1 \), нам нужно сначала определить радиус описанного цилиндра и высоту призмы.

1. : Дано, что \( AB = 2\sqrt{3} \). 2. : Дано, что \( \angle ACB = 60^\circ \). Используем теорему косинусов для нахождения длины стороны \( AC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) \] Так как у нас нет длины стороны \( BC \), мы можем выразить её через \( AC \) и \( AB \). Но сначала найдем \( BC \). Поскольку \( ABC \) — прямоугольный треугольник, мы можем использовать свойства треугольника. Известно, что: \[ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \] Отсюда: \[ BC = AB \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \] Используем теорему Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставляем значения: \[ AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 = 12 + 9 = 21 \] Следовательно: \[ AC = \sqrt{21} \] Радиус описанного цилиндра равен радиусу окружности, описанной около треугольника \( ABC \). Формула для радиуса описанной окружности \( R \) треугольника: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \), а \( S \) — площадь треугольника. Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} \] Теперь подставим значения в формулу для радиуса: \[ R = \frac{(3)(\sqrt{21})(2\sqrt{3})}{4 \cdot \frac{9}{2}} = \frac{6\sqrt{63}}{18} = \frac{\sqrt{63}}{3} \] Высота призмы \( h \) равна \( AB_1 \) и равна: \[ h = AB \cdot \sin(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \] Объём цилиндра \( V \) вычисляется по формуле: \[ V = \pi R^2 h \] Подставляем значения: \[ R^2 = \left(\frac{\sqrt{63}}{3}\right)^2 = \frac{63}{9} = 7 \] Теперь подставляем в формулу объёма: \[ V = \pi \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = 7\pi\sqrt{3} \] Объём цилиндра, описанного около прямой треугольной призмы, равен \( 7\pi\sqrt{3} \).