Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала: ; .

Для решения задачи найдем область сходимости для каждого из рядов и проверим сходимость на границах интервала. \na) Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n! \cdot x^{n}}{3^{n} (n+2)!}$.

1. Упростим общий член ряда:

   $$a_n = \frac{n! \cdot x^{n}}{3^{n} (n+2)!} = \frac{x^{n}}{3^{n} \cdot (n+2)(n+1)}$$

2. Применим критерий ratio (критерий отношения):

   $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)! \cdot x^{n+1}}{3^{n+1} (n+3)!}}{\frac{n! \cdot x^{n}}{3^{n} (n+2)!}} = \frac{(n+1) x}{3(n+3)(n+2)}$$

3. Упростим:

   $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)x}{3(n+3)(n+2)}$$

4. Найдем предел:

   $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)|x|}{3(n+3)(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{3} \cdot \frac{n+1}{n^2} = 0$$
   ...