Показать, что многочлен f(x) = x⁴ + x + 1 неприводим над полем F₂. Описать все элементы поля F₁₆, полученного расширением поля F₂ при помощи корня ξ многочлена f(x). Доказать, что элемент ξ поля F₁₆ примитивный. Найти минимальный многочлен элемента ξ³.

Будем решать задачу шаг за шагом. ───────────────────────────── 1. Доказательство неприводимости многочлена f(x) = x⁴ + x + 1 над F₂ а) Проверим, имеет ли f(x) корни в F₂ (то есть x = 0 и x = 1). • Для x = 0: f(0) = 0⁴ + 0 + 1 = 1 ≠ 0. • Для x = 1: f(1) = 1⁴ + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3. В поле F₂ число 3 совпадает с 1 (так как 3 mod 2 = 1), то есть f(1) = 1 ≠ 0. Следовательно, f(x) не имеет линейных множителей. б) Если f(x) приводим, то должна существовать нетривиальная факторизация в F₂ на многочлены степени 2 (так как других вариантов, кроме разложения на линейные и квадратичные, нет...