Разбор задачи

Преобразование задано координатами образа произвольного вектора . Показать, что - линейное преобразование. Составить матрицу преобразования . Найти образ вектора под действием и . .

Условие:

Преобразование $\varphi$ задано координатами образа произвольного вектора $x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ .

Показать, что $\varphi$ - линейное преобразование.
Составить матрицу преобразования $\varphi$ .
Найти образ вектора $a$ под действием $\varphi$ и $\varphi^{2}$ . $x \varphi=\left(2 x_{1}+x_{3},-2 x_{1}+4 x_{2}-4 x_{3},-2 x_{1}+5 x_{2}\right), \quad a=(-1,2,1)$ .

Преобразование $\varphi$ задано следующей формулой:

\varphi(x) = \left(2 x_{1}+x_{3}, -2 x_{1}+4 x_{2}-4 x_{3}, -2 x_{1}+5 x_{2}\right)

Вектор $a$ :

\na = (-1, 2, 1)

Чтобы показать, что $\varphi$ является линейным преобразованием, нужно проверить два свойства:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений является необходимым условием для того, чтобы преобразование $\varphi$ было линейным?

Для любых векторов $x, y$ и скаляра $k$ должно выполняться $\varphi(x + ky) = \varphi(x) + k\varphi(y)$ .

Для любых векторов $x, y$ должно выполняться $\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)$ .

Для любого вектора $x$ должно выполняться $\varphi(x) = x$ .