Решить уравнение внутри прямоугольника , при следующих краевых условиях: при , при и при .

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дифференциальные уравнения
#Уравнения математической физики

Решить уравнение внутри прямоугольника , при следующих краевых условиях: при , при и при .

Условие:

Решить уравнение $\Delta u=0$ внутри прямоугольника $0 \leqslant x \leqslant a$ , $0 \leqslant y \leqslant b$ при следующих краевых условиях: $u=V$ при $x=0$ , $u=0$ при $x=a$ и $y=0, u=V_{0}$ при $y=b$ .

Решение:

Ниже приводится подробное пошаговое решение задачи. Мы решаем уравнение Лапласа

uₓₓ + uyy = 0

в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b при граничных условиях

u(0,y) = V (для всех y от 0 до b),
u(a,y) = 0 (для всех y),
u(x,0) = 0 (для всех x от 0 до a),
u(x,b) = V₀ (для всех x).

После чего посредством предельного перехода a → ∞ получаем решение для бесконечного полостного региона (задача 96).

-------------------------------------------------------------
Шаг 1. Приведение задачи к однородным кр...