Сформулируйте и докажите признак Абеля сходимости числового ряда (используя признак Дирихле).

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Сформулируйте и докажите признак Абеля сходимости числового ряда (используя признак Дирихле).

Решение:

Признак Абеля сходимости числового ряда утверждает следующее:

Если $(a_n)$ — монотонная и ограниченная последовательность, а $(b_n)$ — последовательность, такая что ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n b_n$ также сходится.

Доказательство

Для доказательства признака Абеля воспользуемся признаком Дирихле.

Шаг 1: Определение и условия

Пусть $(a_n)$ — монотонная и ограниченная последовательность. Это означает, что существует $M > 0$ , такое что для всех $n$ выполняется $|a_n| \leq M$ . Предпол...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих условий является ключевым для последовательности $(a_n)$ в признаке Абеля, чтобы ряд $\sum a_n b_n$ сходился, при условии, что ряд $\sum b_n$ сходится?

Последовательность $(a_n)$ должна быть знакопеременной.

Последовательность $(a_n)$ должна быть монотонной и ограниченной.

Последовательность $(a_n)$ должна стремиться к нулю.