В пространстве L матриц 2*2 над R задано скалярное произведение (X,Y) = tr(X(2 -2//-2 3)Y^t) Для каждой матрицы A рассматривается линейное преобразование пространства L, заданное формулой ga(X)=AX-X^tA^t Найдите множество всех матриц A для которых оператор ga(X) является самосопряженным на L с заданным скалярным произведением
Найдем условие на матрицу A, чтобы оператор gA, заданный по формуле
gA(X) = A·X – Xᵀ·Aᵀ
был самосопряжённым относительно скалярного произведения на пространстве L (2×2‐матриц над ℝ), которое определяется так:
(X, Y) = tr( X · M · Yᵀ ), где M = [2 –2; –2 3].
То есть нужно, чтобы для любых X, Y из L выполнялось равенство
(gA(X), Y) = (X, gA(Y)).
Ниже подробно опишем рассуждения.
──────────────────────────────
Имеем (gA(X), Y) = tr( (A·X – Xᵀ·Aᵀ) · M · Yᵀ ) = tr( A·X · M · Yᵀ ) – tr( Xᵀ·Aᵀ · M · Yᵀ ).
Используя свойства следа (ценность циклической...