вычислить двойной интеграл по прямоугольникам SS y*exy/4 dx dy , 4<=x<=8, ln3<=y<=ln4 сначало по оси dy потом по dx

Чтобы вычислить двойной интеграл $\iint_S y \cdot e^{\frac{xy}{4}} \, dx \, dy$ по заданной области $S$, гд...

Двойной интеграл можно записать следующим образом:

$$\int{\ln 3}^{\ln 4} y \cdot e^{\frac{xy}{4}} \, dy \, dx$$

Теперь начнем с внутреннего интеграла:

$$\int_{\ln 3}^{\ln 4} y \cdot e^{\frac{xy}{4}} \, dy$$

Для этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Пусть:

• $u = y$ (тогда $du = dy$)
• $dv = e^{\frac{xy}{4}} \, dy$

Теперь найдем $v$:

$$v = \int e^{\frac{xy}{4}} \, dy$$

Для нахождения $v$ используем замену переменной. Пусть $z = \frac{xy}{4}$, тогда $dy = \frac{4}{x} dz$:

$$v = \int e^{z} \cdot \frac{4}{x} \, dz = \frac{4}{x} e^{z} + C = \frac{4}{x} e^{\frac{xy}{4}} + C$$

Теперь применим интегрирование по частям:

$$\int y \cdot e^{\frac{xy}{4}} \, dy = y \cdot \frac{4}{x} e^{\frac{xy}{4}} \bigg|_{\ln 3}^{\ln 4} - \int \frac{4}{x} e^{\frac{xy}{4}} \, dy$$

Теперь вычислим первый член:

$$\left[ y \cdot \frac{4}{x} e^{\frac{xy}{4}} \right]_{\ln 3}^{\ln 4} = \frac{4}{x} \left( \ln 4 \cdot e^{\frac{4 \ln 4}{4}} - \ln 3 \cdot e^{\frac{4 \ln 3}{4}} \right)$$

Упрощаем:

$$= \frac{4}{x} \left( \ln 4 \cdot 4 - \ln 3 \cdot 3 \right) = \frac{4}{x} \left( 4 \ln 4 - 3 \ln 3 \right)$$

Теперь вычислим второй интеграл:

$$\int \frac{4}{x} e^{\frac{xy}{4}} \, dy = \frac{16}{x} e^{\frac{xy}{4}} \bigg|_{\ln 3}^{\ln 4} = \frac{16}{x} \left( e^{\ln 4} - e^{\ln 3} \right) = \frac{16}{x} (4 - 3) = \frac{16}{x}$$

Теперь подставим это обратно в наш интеграл:

$$\int_{\ln 3}^{\ln 4} y \cdot e^{\frac{xy}{4}} \, dy = \frac{4}{x} (4 \ln 4 - 3 \ln 3) - \frac{16}{x}$$

Теперь мы можем подставить это в внешний интеграл:

$$\int_{4}^{8} \left( \frac{4}{x} (4 \ln 4 - 3 \ln 3) - \frac{16}{x} \right) \, dx$$

Упрощаем:

$$= \int_{4}^{8} \left( \frac{4(4 \ln 4 - 3 \ln 3 - 4)}{x} \right) \, dx$$

Теперь интегрируем:

$$= 4(4 \ln 4 - 3 \ln 3 - 4) \int_{4}^{8} \frac{1}{x} \, dx = 4(4 \ln 4 - 3 \ln 3 - 4) \left( \ln 8 - \ln 4 \right)$$

Теперь подставим значения:

$$\ln 8 - \ln 4 = \ln \frac{8}{4} = \ln 2$$

Таким образом, окончательный результат:

$$= 4(4 \ln 4 - 3 \ln 3 - 4) \ln 2$$

Это и будет ответом на наш двойной интеграл.