Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж. 2𝑦² = 𝑥, 𝑥⁴ + 𝑦² + 𝑧⁴ = 1, 𝑧 = 0

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж.
2𝑦
2 = 𝑥,
𝑥
4
+
𝑦
2
+
𝑧
4
= 1, 𝑧 = 0
Решение:
𝑉 = ∭𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑇
𝑥
4
+
𝑦
2
= 1 => 𝑧 = 1 − 𝑥 − 2𝑦
Построим проекцию тела на плоскость 𝑂𝑥𝑦:
Задача №6
𝑇: {
1 ≤ 𝑦 ≤ −2
2𝑦
2 ≤ 𝑥 ≤ 4 − 2𝑦
0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 2𝑦
𝑉 = ∭𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑇
= ∫ 𝑑𝑦
−2
1
∫ 𝑑𝑥
4−2𝑦
2𝑦2
∫ 𝑑𝑧
1−𝑥−2𝑦
0
=
= ∫ 𝑑𝑦
−2
1
∫ (1 − 𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥
4−2𝑦
2𝑦2
= ∫ (𝑥 −
𝑥
2
2
− 2𝑥𝑦) |
4 − 2𝑦
2𝑦
2
−2
1
=
= ∫ (4 − 2𝑦 −
(4 − 2𝑦)
2
2
− 2(4 − 2𝑦)𝑦 − 2𝑦
2 + 2𝑦
4 + 4𝑦
3) 𝑑𝑦
−2
1
=
= ∫ (4 − 2𝑦 − 8 + 8𝑦 − 2𝑦
2 − 8𝑦 + 4𝑦
2 − 2𝑦
2 + 2𝑦
4 + 4𝑦
3
)
−2
1
𝑑𝑦 =
= ∫ (2𝑦
4 + 4𝑦
3 − 2𝑦 − 4)
−2
1
𝑑𝑦 = (
2
5
𝑦
5 + 𝑦
4 − 𝑦
2 − 4𝑦) |
−2
1
=
= −
64
5
+ 16 − 4 + 8 −
2
5
− 1 + 1 + 4 = −
66
5
+ 24 =
54
5
(куб. ед. )