Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

Условие:

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \ln x}{(x+1)^{2}}

Давайте вычислим предел

\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x \ln x}{(x+1)^{2}}.

Шаг 1: Проверим форму предела.

Подставим $x \rightarrow +\infty$ :

В числителе: $x \ln x \rightarrow +\infty$ (так как $x \rightarrow +\infty$ и $\ln x \rightarrow +\infty$ ).
В знаменателе: $(x+1)^{2} \rightarrow +\infty$ .

Таким образом, мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$ , что позволяет нам применить правило Лопиталя.

Шаг 2: Применим правило Лопиталя.

Согласно правилу Лопиталя, если у нас есть неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$ , мы можем...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно быть выполнено для применения правила Лопиталя к пределу вида $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$?

Функции $f(x)$ и $g(x)$ должны быть непрерывными в точке $a$ .

Предел должен иметь неопределенность вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ .

Производные $f'(x)$ и $g'(x)$ должны быть равны нулю в точке $a$ .