Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫⁰⁰⁵ x³e⁻ˣ dx

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{0,5} x^{3} e^{-x} d x \) с помощью разложения функции в ряд, начнём с разложения функции \( e^{-x} \) в ряд Тейлора. ### Шаг 1: Разложение функции \( e^{-x} \) Функция \( e^{-x} \) может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: \[ e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots \] ### Шаг 2: Подстановка в интеграл Теперь подставим это разложение в наш интеграл: \[ \int_{0}^{0,5} x^{3} e^{-x} d x = \int_{0}^{0,5} x^{3} \left( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!}...