1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. 求下列函数在给定点 处的 Taylor 展开式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
Разбор задачи

求下列函数在给定点 处的 Taylor 展开式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
求下列函数在给定点 处的 Taylor 展开式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；

Условие:

求下列函数在给定点 x0x_{0} 处的 Taylor 展开式： （1） ex−1,x0=2\mathrm{e}^{x-1}, x_{0}=2 ； （2） cos⁡x,x0=π4\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{4} ； （3） ln⁡x,x0=1\ln x, x_{0}=1 ； （4）xx2−5x+6,x0=5\frac{x}{x^{2}-5 x+6}, x_{0}=5 ；

Решение:

  1. Найдите разложение Тейлора функции f(x)=e^(x–1) в точке x₀=2.

    Шаг 1. Запишем функцию в удобном виде. Заметим, что
      x – 1 = 1 + (x – 2), поскольку x – 1 = (2 – 1) + (x – 2).

    Шаг 2. Тогда
      e^(x–1) = e^(1+(x–2)) = e ⋅ e^(x–2).

    Шаг 3. Разложим e^(x–2) по рядам Тейлора в точке x₀=2 (где переменная t = x–2):
      e^(x–2) = Σₙ₌₀∞ [(x–2)ⁿ/n!].

    Шаг 4. Ответ:
      e^(x–1) = e ⋅ Σₙ₌₀∞ (x–2)ⁿ/n!.

    ──────────────────────────────
  2. Найдите разложение Тейлора функции f(x)=cos x в точке x₀=π/4.

    ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов является наиболее подходящим для разложения рациональной функции вида P(x)/Q(x) в ряд Тейлора в заданной точке, если знаменатель Q(x) имеет простые корни?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники