Условие задачи
1. Множество M состоит из произведений пар последовательных натуральных чисел: 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, . . . . Докажите, что сумма некоторых двух элементов множества M равна 22021.
2. Даны три квадратных трехчлена f(x) = ax2+bx+c, g(x) = bx2+cx+a, h(x) = cx2+ ax+b, где a, b, c – различные ненулевые действительные числа. Из них составили три уравнения f(x) = g(x), f(x) = h(x), g(x) = h(x). Найдите произведение всех корней этих трех уравнений, если известно, что каждое из них имеет по два различных
корня.
3. На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку C выбрана точка D. Пусть S1 – окружность, описанная около треугольника ABD, S2 – окружность, описанная около треугольника CBD. Касательная к окружности S1, проходящая через точку A, и касательная к окружности S2, проходящая через точку C, пересекаются в точке P. Докажите, что точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
Ответ
1. Рассмотрим сумму двух последовательных произведений: S = (n1)n+n(n + 1) = 2n2. Значит, если n2 = 22020 (n = 21010), то S = 22021.
2. Так как известно, что все уравнения имеют корни, то можно воспользоваться теоремой Виета. Тогда произве...
