1. Множество M состоит из произведений пар последовательных натуральных чисел: 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, . . . . Докажите, что сумма некоторых двух элементов множества M равна 2 2021 .

1. Множество M состоит из произведений пар последовательных натуральных чисел: 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, . . . . Докажите, что сумма некоторых двух элементов множества M равна 2²⁰²¹.

2. Даны три квадратных трехчлена f(x) = ax²+bx+c, g(x) = bx²+cx+a, h(x) = cx²+ ax+b, где a, b, c – различные ненулевые действительные числа. Из них составили три уравнения f(x) = g(x), f(x) = h(x), g(x) = h(x). Найдите произведение всех корней этих трех уравнений, если известно, что каждое из них имеет по два различных
корня. 

3. На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку C выбрана точка D. Пусть S₁ – окружность, описанная около треугольника ABD, S₂ – окружность, описанная около треугольника CBD. Касательная к окружности S₁, проходящая через точку A, и касательная к окружности S₂, проходящая через точку C, пересекаются в точке P. Докажите, что точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.